第20讲：分类讨论思想情形之26-30【知识要点】一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一.分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果.四、本讲讲了分类讨论思想情形之26-30,情形26：三角形是钝角三角形没有确定哪一个角是钝角要分类讨论；情形27：在三角形中解方程时要把分锐角和钝角两种情况讨论；情形28：使用项和公式求通项时，一定要对分类讨论；情形29：利用等比数列前项和公式求时要对分两种情况讨论；情形30：数列求和时一般要就分类讨论.【方法讲评】分类讨论情形26三角形是钝角三角形没有确定哪一个角是钝角要分类讨论.【例1】在中，，在上任取一点，则使为钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．【解析】【点评】（1）做数学题，思维必须严谨.由于已知中没有说明哪个角为钝角，所以“为钝角三角形”应该有三种情况，①为钝角，②为钝角，③为钝角.由于已知中，所以只剩下两种情况.（2）当已知中提到“钝角三角形”或“直角三角形”时，我们都要比较敏感地想到哪一角是钝角？哪一个角是直角？【反馈检测1】如图，，，，在线段上任取一点，试求：(1)为钝角三角形的概率；(2)为锐角三角形的概率．分类讨论情形27在三角形中解方程时要把分锐角和钝角两种情况讨论.【例2】已知角的终边经过点，则=.【解析】由正弦定理得,解得,所以又因为，所以,则.故填【点评】三角方程在三角形中有两解，不是一解.是一解，是一解.这与三角函数在区间的单调性有关,因为正弦函数在时先减后增，余弦函数在时减函数，正切函数在是增函数.【反馈检测2】在中，已知，，，求及S.分类讨论情形28使用项和公式求通项时，一定要对分类讨论.【例3】已知数列的前项和为，满足，则的通项公式为__________．【点评】（1）项和公式是根据数列前项和求通项的一个非常重要的公式，是高考经常考查的一个考点，大家务必要理解和掌握.该公式之所以是分段函数，主要是当时，的下标为，没有意义，所以要分类讨论.利用该公式要分和讨论，或者最后把代入检验，结果是能并则并，不并则分.【反馈检测3】数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的，总有成等差数列,（1）求数列的通项公式；（2）设数列前n项和为，且，求证对任意的实数和任意的正整数n，总有.分类讨论情形29利用等比数列前项和公式求时要对分两种情况讨论.【例4】设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.【点评】（1）等比数列的前项和公式为，所以在使用这个公式时，要先对公比分类讨论，不能直接代公式.很多学生很容易忽略这一点.否则容易导致解题不严谨或漏解.（2）利用等比数列前和公式时，一定要就和分类讨论（除非已知中有）.【反馈检测4】已知等比数列中，,则等比数列的公比=.分类讨论情形30数列求和时一般要就分类讨论.【例5】设为等差数列的前项和，且，.①求的通项公式；②求的前项和.当时，综上所述，【点评】（1）要对数列求和...
