专题一善用数学思想高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．数学思想与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．第一讲函数与方程思想__数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想的含义函数与方程思想在解题中的应用函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.1函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．2数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．3解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．4立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.———————[典例示范]—————应用一解决数列、不等式问题[例1]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．[解](1)因为a1＝2，a＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，(列出方程)解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.(2)因为Sn＝n(n＋1)，所以bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋1＝－＋－＋…＋－＝－＝＝，令f(x)＝2x＋(x≥1)，(构造函数)则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝，所以实数k的最小值为.———[即时应用]——————————1.(1)设a＞0，b＞0.()A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b(2)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.解析：(1)由2a＋2a＝2b＋3b，整理得，(2a＋2a)－(2b＋2b)＝b>0，令f(x)＝2x＋2x，显然f(x)是单调递增函数，由f(a)－f(b)>0可得a>b，选A.(2)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；当x＜0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，设g(x)＝－，且g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因为g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.答案：(1)A(2)4——————————[典例示范]—————————应用二解决解析几何、立体几何问题[例2]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，如图所示，设左顶点为A，上顶点为B，且OF·FB＝AB·BF.(1)求椭圆C的方程；(2)若过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定FM·FN的取值范围．[解](1)由已知，A(－a,0)，B(0，b)，F(1,0)，则由OF·FB＝AB·BF，得b2－a－1＝0. b2＝a2－1，∴a2－a－2＝0，(列出方程)解得a＝2.∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)①若直线l斜率不存在，则l：x＝1，此时M，N，FM·FN＝－.2②若直线...
