大题规范练(十一)“20题、21题”24分练(时间：30分钟分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．已知椭圆T：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点A(0,1)，离心率e＝，圆C：x2＋y2＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.(1)求椭圆T的方程；(2)求证：PM⊥PN.【导学号：04024250】解：(1)由题意可知：b＝1，＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.(2)证明：①当P点横坐标为±时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN.②当P点横坐标不为±时，设P(x0，y0)，则x＋y＝4，设kPM＝k，PM的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立方程组消去y得(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3k2x－6kx0y0＋3y－3＝0，依题意得Δ＝0，即Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)(3k2x－6kx0y0＋3y－3)＝0，化简得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，又kPM·kPN为方程的两根，所以kPM·kPN＝＝＝＝－1.所以PM⊥PN.21．已知函数f(x)＝x2－(－1)k2alnx(k∈N，a∈R且a＞0)．(1)求f(x)的极值；(2)若k＝2016，关于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值.【导学号：04024251】解：(1)函数f(x)＝x2－(－1)k2alnx(k∈N，a∈R且a>0)，可得f′(x)＝2x－(－1)k2a·，当k为奇数时，f′(x)＝2x＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值．当k为偶数时，f′(x)＝2x－＝＝，所以f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以f(x)有极小值，f(x)极小值＝f()＝a－2aln＝a－alna.(2)因为k＝2016，则f(x)＝x2－2alnx，令g(x)＝x2－2alnx－2ax，g′(x)＝2x－－2a＝＝(x2－ax－a)，令g′(x)＝0，所以x2－ax－a＝0，因为a>0，x>0，所以x0＝.当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，x0)上单调递减．当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(x0，＋∞)上单调递增．又g(x)＝0有唯一解，所以即②－①得2alnx0＋ax0－a＝0⇒2lnx0＋x0－1＝0⇒x0＝1.所以12－a－a＝0，所以a＝.
