大题规范练(十)“20题、21题”24分练(时间：30分钟分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，且|OA－OB|＜，求直线斜率的取值范围.【导学号：04024248】解：(1)由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝2b2.又因为b＝＝1，所以a2＝2，b2＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，则Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)＞0，得k2＜，x1＋x2＝，x1·x2＝.因为|OA－OB|＜，所以|x1－x2|＜，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1·x2]＜，所以(1＋k2)＜，所以(4k2－1)(14k2＋13)>0，所以k2＞.所以＜k2＜，所以＜k＜或－＜k＜－，所以直线斜率的取值范围为∪.21．已知函数f(x)＝ex－ax(x∈R)．(1)当a＝1时，求证：f(x)≥1；(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，其中x1＜x2，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，求证：x1＋x2＞2.【导学号：04024249】解：(1)证明：当a＝1时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1＝ex－e0.当x>0时，有f′(x)>0；当x<0时，有f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥f(x)min＝f(0)＝1.(2)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.当－a≥0，即a≤0时，f(x)是R上的增函数，函数f(x)最多有一个零点，不符合题意，所以a>0.当a>0时，f′(x)＝ex－a＝ex－elna，当x>lna时，有f′(x)>0；当xe,01时，h(t)>h(1)＝0，即lnt－＞0，所以＞2，所以x1＋x2＞2.
