数形结合思想专练一、选择题1．(2019·长春二模)已知曲线y＝x－x2在点P(x0，x0－x)(0≤x0≤1)处的切线为l，则下列各点中，不可能在直线l上的是()A．(－1，－1)B．(－2,0)C．(4,1)D．(1，－2)答案D解析画出切线l扫过的区域，如图所示，则不可能在直线上的点为(1，－2)．故选D.2．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，则的最大值为()A．B．C．D．答案D解析方程(x－2)2＋y2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径为r＝(如图)，而＝，则表示圆M上的点A(x，y)与坐标原点O(0,0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A在以M(2,0)为圆心，以为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值．由图可知当∠OAM在第一象限，且直线OA与圆M相切时，OA的斜率最大，此时OM＝2，AM＝，OA⊥AM，则OA＝＝1，tan∠AOM＝＝，故的最大值为.故选D．3．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C．D．答案C解析如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则CA＝a－c，CB＝b－C．由题意知CA⊥CB，∴O，A，C，B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC|＝.4．(2019·贵阳模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的图象关于点(1,2)对称B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴1D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称答案A解析由f(x)＝＝2＋知f(x)是y＝(a>0)型函数，作出其简图如图所示．从图象可以看出f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称；其在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上均是减函数；没有能使AB∥x轴的点存在．即只有A正确．故选A．5．定义在实数集R上的函数f(x)，满足f(x)＝f(4－x)＝f(x－4)，当x∈[0,2]时，f(x)＝3x－x－1，则函数g(x)＝f(x)－|log2(x－1)|的零点个数为()A．31B．32C．63D．64答案B解析由题意知，f(x)是偶函数，图象关于直线x＝2对称，周期是4.当x∈[0,2]时，f(x)＝3x－x－1，f′(x)＝3xln3－1，则f′(x)≥0在[0,2]上恒成立，由此作出函数f(x)的图象．在同一坐标系中作出函数y＝|log2(x－1)|的图象，由图象知，两函数图象共有32个交点，则函数g(x)＝f(x)－|log2(x－1)|共有32个零点，故选B．二、填空题6．(2020·合肥质量检测)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________．答案<<解析作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以<<.7．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．答案解析因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知，△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当2P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，故使△APF的周长最小的点P的坐标为.8．(2019·江门模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．答案解析由题可知f(x)为周期为2的偶函数，可得图象如右，因为在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，即过定点A(－2,0)的直线y＝ax＋2a在区间[－2,3]上与函数f(x)图象恰有四个交点，则由图可知直线斜率kAC
