【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第六章不等式与推理证明6.7数学归纳法课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2016·银川模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确(k∈N＋)B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确(k∈N＋)C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确(k∈N＋)D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N＋)解析：因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，即假设n＝2k－1时正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1时正确．答案：B2．(2016·广州模拟)已知f(n)＝＋＋＋…＋，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋解析：将f(n)变形得f(n)＝＋＋…＋，故项数为n2－n＋1；当n＝2时，f(2)＝＋＋.答案：D3．(2016·襄阳模拟)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4解析：当n＝1时，左边是1＋2＋3＋4，是由1加到n＋3，故选D.答案：D4．用数学归纳法证明当n∈N＋时1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为________，从k→k＋1时需增添的项是________．解析：把n＝k，n＝k＋1相比较即可得出．答案：1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋45．夏天吃西瓜，把西瓜横切一刀竖切一刀，吃完后就剩下4块皮，依次类推，如果西瓜被横切n刀竖切n刀(横切n刀切面互相平行，竖切n刀切面互相平行)，剩下的西瓜皮数记为f(n)，则f(3)＝________；f(n)＝________.(答案用n表示)解析：归纳猜想，寻找递推关系显然f(1)＝4，f(2)＝9＋1，f(3)＝16＋4＝20，f(4)＝25＋9，…，f(n)＝(n＋1)2＋(n－1)2＝2(n2＋1)．答案：202(n2＋1)6．f(n＋1)＝，f(1)＝1(n∈N＋)，猜想f(n)的表达式为________．解析：f(2)＝＝；f(3)＝＝＝；f(4)＝＝＝；…；猜想f(n)＝.答案：f(n)＝7．(2016·东北三校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N＋.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．解：(1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1或a1＝－－1(舍去)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.∴a2＝－或a2＝－－(舍去)．同理可得a3＝－.由a1，a2，a3，猜想an＝－(n∈N＋)．(2)证明：①由(1)的计算过程知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时，通项公式成立，即ak＝－.那么由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，将ak＝－代入上式并整理得a＋2ak＋1－2＝0，解得：ak＋1＝－或ak＋1＝－－(舍去)．即当n＝k＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n∈N＋，an＝－都成立．8．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且同时满足：①f(1)＝3；②f(x)≥2对一切x∈[0,1]恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－2.(1)求函数f(x)的最大值和最小值；(2)试比较f与＋2(n∈N)的大小；(3)某同学发现：当x＝(n∈N)，有f(x)＜2x＋2，由此他提出猜想：对一切x∈(0,1]，都有f(x)＜2x＋2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．解：(1)设x1，x2∈[0,1]，x1＜x2，则x2－x1∈(0,1]．∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]≥f(x2－x1)＋f(x1)－2，∴f(x2)－f(x1)≥f(x2－x1)－2≥0，∴f(x1)≤f(x2)，故当0≤x≤1时，∴f(0)≤f(x)≤f(1)，∴当x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝3；又f(0)＝f(0＋0)≥2f(0)－2⇒f(0)≤2而f(0)≥2，∴f(0)＝2，∴当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝2.(2)令x1＝x2＝，得f≥2f－2，∴f－2≤≤…≤＝，∴f≤＋2.(3)对x∈(0,1]，总存在n∈N，满足≤x≤，由(1)(2)得：f(x)≤f≤＋2，则有2x＋2＞2·＋2＝＋2，又f(x)≤f≤＋2，∴2x＋2＞＋2≥f≥f(x)，∴f(x)＜2x＋2，综上所述，对任意x∈(0,1]，f(x)＜2x＋2恒成立．[B级能力突破]1．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是()A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7...
