课后限时集训48立体几何中的翻折、探究性、最值问题建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·乐山模拟)已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1，，a，且长为a的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为()A.B.C.D.A[如图所示，三棱锥ABCD中，AD＝a，BC＝，AB＝AC＝BD＝CD＝1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面ABC⊥平面BCD时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h＝，△BCD是等腰直角三角形，则S△BCD＝，综上可得，三棱锥的体积的最大值为××＝.故选A.]2.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M，O分别为线段A1C，DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是()A．与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直B．异面直线BM与A1E所成角是定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值C[取DC的中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∴平面MNB∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故A正确；取A1D的中点F，连接MF，EF，则四边形EFMB为平行四边形，则∠A1EF为异面直线BM与A1E所成角，故B正确；点A关于直线DE的对称点为N，则DE⊥平面AA1N，即过O与DE垂直的直线在平面AA1N上，故C错误；三棱锥A1ADE外接球半径为AD，故D正确．]二、填空题3．(2019·荆门一模)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥PABCEF的体积的取值范围为________．[ PF⊥AF，PF⊥EF，AF∩EF＝F，∴PF⊥平面ABCD.设PF＝x，则00，∴f(x)在(0,1)上单调递增，又f(0)＝0，f(1)＝.∴五棱锥PABCEF的体积的范围是.]4．(2019·柳州模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3cm，BC＝2cm，AA1＝2cm，E为CC1的中点，则一质点自点A出发，沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为________cm.3[将长方体沿C1C,C1B1,BC剪开，使面ABB1A1和面BCC1B1在同一个平面内，连接AE，如图在Rt△ACE中，AC＝5，CE＝1，由勾股定理，得AE2＝AC2＋CE2＝26，则AE＝.将长方体沿C1D1,DD1,C1C剪开，使面ABCD和面CDD1C1在同一个平面内，连接AE，如图，在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝3,由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2＝32＋32＝3.将长方体沿B1C1,CC1,BB1剪开，使面ABCD和面BCC1B1在同一个平面内，连接AE，在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝2，由勾股定理，得AE2＝AD2＋DE2＝20，则AE＝2.综上可知，故沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为3cm.]三、解答题5．(2019·湖南六校联考)如图，梯形EFBC中，EC∥FB，EF⊥BF，BF＝EC＝4，EF＝2，A是BF的中点，AD⊥EC，D在EC上，将四边形AFED沿AD折起，使得平面AFED⊥平面ABCD，点M是线段EC上异于E，C的任意一点．(1)当点M是EC的中点时，求证：BM∥平面AFED；(2)当平面BDM与平面ABF所成的锐二面角的正弦值为时，求三棱锥EBDM的体积．[解](1)法一：(几何法)取ED的中点N，连接MN，AN， 点M是EC的中点，∴MN∥DC，且MN＝DC，而AB∥DC，且AB＝DC，∴MN綊AB，即四边形ABMN是平行四边形，∴BM∥AN，又BM平面AFED，AN平面AFED，∴BM∥平面AFED.法二：(坐标法) AD⊥CD，AD⊥ED，平面AFED⊥平面ABCD，平面AFED∩平面ABCD＝AD，∴DA，DC，DE两两垂直．以DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，M(0,2,1)，∴BM＝(－2,0,1)，又平面AFED的一个法向量DC＝(0,4,0)，BM·DC＝0，∴BM⊥DC，又BM平面AFED，∴BM∥平面AFED.(2)依题意设点M(0＜t＜4)，设平面BDM的法向量n1＝(x，y，z)，则DB·n1＝2x＋2y＝0，DM·n1＝ty＋z＝0，令y＝－1，则n1＝，取平面ABF的一个法向量n2＝(1,0,0)， |cos〈n1，n2〉|＝＝＝，解得t＝2.∴M(0,2,1)为EC的中点，S△DEM＝S△CDE＝2，又点B到平面DEM的距离h＝2，∴VEBDM＝VBDEM＝·S△DE...
