专题20平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系热点题型一平面向量的数量积运算例1、【2017课标II，文12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（）A.B.C.D.【答案】B【变式探究】(1)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝__________。(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则DE·CB的值为__________，DE·DC的最大值为__________。【答案】（1）2（2）11【解析】(1)由c＝ta＋(1－t)b得，b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝0，整理得t|a||b|cos60°＋(1－t)|b|2＝0，化简得t＋1－t＝0，所以t＝2。(2)方法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t，0)，0≤t≤1，则D(0，1)，B(1，0)，C(1，1)，DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝1。【提分秘籍】向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ。(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2。【举一反三】已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝__________。【答案】－6【解析】b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×1×1×cos－8＝－6。热点题型二平面向量的垂直与夹角问题例2、(1)若|a|＝2，|b|＝4且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是()A.B.C.D．－(2)设向量a＝(x－1，1)，b＝(－x＋1，3)，若a⊥(a－b)，则x＝__________。(3)设两个向量a，b，满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，若向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角，求实数t的范围。【答案】（1）A（2）0或2（3）见解析【解析】(1)根据题意，由于|a|＝2，|b|＝4且(a＋b)⊥a，则有(a＋b)·a＝0⇔a2＋b·a＝04⇔＋b·a＝【提分秘籍】平面向量数量积的两个应用(1)求夹角大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ＝(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角。【举一反三】若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－B.C.D.【答案】C热点题型三平面向量的模例3．(1)已知a，b是单位向量，a·b＝0。若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()A.－1B.C.＋1D.＋2(2)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R。若e1，e2的夹角为，则的最大值等于__________。【答案】（1）C（2）2【解析】(1)方法一：条件|c－a－b|＝1可以理解成如图的情况而|a＋b|＝，向量c的终点在单位圆上，故|c|的最大值为＋1。方法二：由题意，得|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|＝，因为|c－a－b|＝1，所以|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋(a＋b)2＝1。设c与a＋b的夹角为θ，则|c|2－2|c|×cosθ＋2＝1，【提分秘籍】求平面向量的模及最值的方法几何法求最值：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围代数法求最值：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围。【举一反三】若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.－1B．1C.D．2【答案】B【解析】由向量a，b，c都是单位向量，可得a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0，可以知道(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)＝3－2(a＋b)·c，故|a＋b－c|≤1。1.【2017课标3，文12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+，则+的最大值为A．3B．2C．D．2【答案】A点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A。【考点】平面向量的坐标运算；平...
