课后限时集训(十五)导数与函数的极值、最值(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．(2018·银川三模)已知函数f(x)＝cosx＋alnx在x＝处取得极值，则a＝()A.B．C.D．－C[ f′(x)＝－sinx，且f′＝0，∴－＝0，即a＝，故选C.]2．(2019·东莞模拟)若x＝1是函数f(x)＝ax＋lnx的极值点，则()A．f(x)有极大值－1B．f(x)有极小值－1C．f(x)有极大值0D．f(x)有极小值0A[ f(x)＝ax＋lnx，x＞0，∴f′(x)＝a＋，由f′(1)＝0得a＝－1，∴f′(x)＝－1＋＝.由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1，∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．∴f(x)极大值＝f(1)＝－1，无极小值，故选A.]3．已知函数f(x)＝lnx－ax存在最大值0，则a的值为()A．1B．2C．eD．D[f′(x)＝－a，x＞0.当a≤0时，f′(x)＝－a＞0恒成立，函数f(x)递增，不存在最大值；当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝.当0＜x＜时，f′(x)＞0，函数f(x)递增；当x＞时，f′(x)＜0，函数f(x)递减．∴f(x)max＝f＝ln－1＝0，解得a＝，故选D．]4．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A．3B．4C．6D．5A[设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小．由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·.∴S′＝2πR－，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小．故选A.]5．(2018·南宁一模)设函数f(x)＝－x3＋3bx，当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，则b的值是()A.B．C.D．C[ f(x)＝－x3＋3bx，∴f′(x)＝－3x2＋3B．①当b≤0时，x∈[0,1]时，f(x)≤0，不合题意；②当b＞0时，由f′(x)＝0得x＝±.由f′(x)＞0得0＜x＜，由f′(x)＜0得x＞.∴f(x)在(0，)上为增函数，在(，＋∞)上为减函数．若≥1时，由f(1)＝－1＋3b＝1得b＝＜1矛盾，故＜1.此时f()＝1，即－()3＋3b＝1，解得b＝，故选C.]二、填空题6．函数y＝－ex＋x在R上的最大值是________．－1[由y＝－ex＋x得y′＝－ex＋1，由y′＝0得x＝0.又当x＜0时，y′＞0，当x＞0时，y′＜0.∴当x＝0时，y取得最大值－1.]7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1)[ y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. 函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]8．(2019·武汉模拟)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．[因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，又因为f′(x)＝4x－，所以由f′(x)＝0解得x＝，由题意得解得1≤k＜.]三、解答题9．(2018·北京高考)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．[解](1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a＞，则当x∈时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在x＝2处取得极小值．若a≤，则当x∈(0,2)时，x－2＜0，ax－1≤x－1＜0，所以f′(x)＞0.所以2不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是.10．已知函数f(x)＝(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．[解](1)当x＜1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0f′(x)－0＋0－f(x)↗极小值↘极大值↗故当x＝0时，函数f(x)取得极小值为f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝.(2)①当－1≤x＜1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0]和上递减，在上递增．因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)＝alnx，当a≤0时，f(x)≤0；当a＞0时，f(x)在[1，e]上递增，则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f(x)在[－1，e...
