第十二讲导数的切线方程1.导数的几何意义：切线的斜率2.求斜率的方法（1）公式：（2）当直线l1、l2的斜率都存在时：，3.切线方程的求法（1）求出直线的斜率（2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式写出直线方程。【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为。（2）设函数，若，则______________．【答案】（1）.（2）e【解析】（1） y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1， 0≤α<π，∴α＝.（3）由题意得，又，解得．【套路总结】1.已知切点求切线的斜率解题思路（1）求导：求出导函数（2）将切点的横坐标代入导函数计算即可2.求切点的坐标的解题思路(1)设出切点坐标(2)利用导数或斜率公式求出斜率(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标【举一反三】【套路秘籍】---千里之行始于足下1.已知在曲线上过点的切线为．（1）若切线平行于直线，求点的坐标；（2）若切线垂直于直线，求点的坐标；（3）若切线的倾斜角为，求点的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）两条直线平行斜率相等，2x0=4,x0=2,代入曲线y0=4,切点P（2,4）（2）直线直线垂直，斜率相乘等于-1.（3）因为切线的倾斜角为，所以其斜率为．即，得，，故．考向二在某点处求切线方程【例2】设函数f(x)＝xlnx，则点(1,0)处的切线方程是________．【解析】因为f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.【答案】x－y－1＝0【套路总结】已知切点(x0,y0)求切线方程1.表述：在某点处的切线方程，该点为切点。2.求切线方程的基本思路（1）求导：利用求导公式进行求导f’(x)（2）求k:将切点的横坐标x0代入f’(x0)=k（3）求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)注意：如果切点的横坐标已知，求纵坐标，可以将切点的横坐标代入原函数（曲线）求纵坐标。记得切点即在切线方程上也在原函数上。【举一反三】1.函数f(x)＝excosx在点(0，f(0))处的切线方程为。【答案】x－y＋1＝0【解析】 f′(x)＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，∴f′(0)＝e0(cos0－sin0)＝1．又 f(0)＝1，∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0．2.曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为___.【答案】5x＋y＋2＝0【解析】由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.考向三过某点处求切线方程【例3】已知函数，则过（1,1）的切线方程为__________．【答案】【解析】由函数，则，当点为切点时，则，即切线的斜率，所以切线的方程为，即，当点不是切点时，设切点，则，即，解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即.【套路总结】未知切点求切线方程1.表述：过某点且与函数（曲线）相切的切线方程2.求切线方程的基本思路（1）判断：判断点是否在曲线上---将点代入曲线①曲线等式成立即点在曲线上，那该点可能是切点可能不是切点，分类讨论；一类该点是切点，参考以上一的求法求切线方程，一类不是切点，请参考下面的方法求切点。②曲线等式不成立，即该点不是切点（2）该点(x1,y1)不是切点但在切线上时，求切线方程的思路①设点：设切点(x0，y0)②求x0：利用斜率的关系求切点横坐标k＝f′(x0)=y1−y0y1−x0和y0=f(x0)（即将切点代入原函数）联立解x0③求k:利用k＝f′(x0)【举一反三】1．已知曲线f(x)=1x，则过点(−1,3)，且与曲线y=f(x)相切的直线方程为。【答案】y=−x+2或y=−9x−6【解析】设切点为(x0,y0),切线斜率k=f'(x0)=−1x02，则切线方程是y−y0=−1x02(x−x0)，又过点(−1,3)，所以3−y0=−1x02(−1−x0)，①又y0=1x0，②由①②解得，¿或¿，代入切线方程化简可得：切线方程为x+y−2=0或9x+y+6=0.2．过点p(−4,0)作曲线y=xex的切线，则切线方程为_______________________.【答案】x+e2y+4=0【解析】点p(−4,0)不为切点，可设出切点M(m,n)，则n=mem，①又y'=ex+xex，则切线斜率为k=(1+m)em=k=nm+4，②由①②得，m=−2,n=−2e−2,k=−e−2，故切线方程为y−0=−e−2(x+4)...
