课后限时集训(十三)导数的概念及运算(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．函数y＝ln(2x2＋1)的导数是()A.B．C.D．B[y′＝·4x＝，故选B．]2．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于()A.B．C.D．D[因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝.故选D．]3．(2018·广州一模)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为()A．ln2B．1C．1－ln2D．1＋ln2D[由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，选D．]4．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A．(0,0)B．(1，－1)C．(－1,1)D．(1，－1)或(－1,1)D[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且，解得a＝±2，x0＝－.所以当时，点P的坐标为(1，－1)；当时，点P的坐标为(－1,1)，故选D．]5．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为()A．x＋4y－2＝0B．x－4y＋2＝0C．4x＋2y－1＝0D．4x－2y－1＝0A[y′＝＝，因为ex＞0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≤－(当x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.故选A.]二、填空题6．(2019·漳州模拟)曲线y＝－2sinx在x＝处的切线的倾斜角大小为________．[ y′＝－2cosx，∴y′|x＝＝－2cos＝－1，设切线的倾斜角为θ，则tanθ＝－1，又0≤θ＜π，∴θ＝.]7．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．(－∞，0)[由题意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x＞0)，故a∈(－∞，0)．]8．(2019·大连调研)若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．[2，＋∞)[ f(x)＝x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋. f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(x＞0)．]三、解答题9．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解](1) f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)， f′(x0)＝3x－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.10．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解](1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又因为f′(x)＝a＋，所以解得所以f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，所以切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.B组能力提升1．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B．4e2C．2e2D．e2D[易知曲线y＝e在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k. y′＝e，∴k＝e×4＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.]2．已知函数f(x)＝x2的图像在点(x0，x)处的切线为l，若l也...
