专题31等比数列【学习目标】1.等比数列的定义，通项公式，递推公式，性质及求和公式.2.方程思想.【知识要点】1．如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝．3．等比数列的通项公式为．4．等比数列前n项和的公式Sn＝5．对于正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则等比数列中am，an，ap，aq的关系为am·an＝.6．等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列．7．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．8．若Sn为等比数列的前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，S(m＋1)k－Smk，…成等比数列(k>1且k∈N*)．9.等比数列的一些结论(1)在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列.(2)若{an}是等比数列，则{λan}、{|an|}皆为等比数列，公比分别为q和|q|(λ为非零常数).(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂.(4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列.(5)若数列{an}与{bn}均为等比数列，则{m·an·bn}与仍为等比数列，其中m是不为零的常数.10.当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，这时k＝.【方法总结】1.判定等比数列，用定义＝q或等比中项法：a＝an·an＋2≠0.2.在a1、q、n、an、Sn中，已知其中三个量，可求其余两个量.利用公式列方程再解方程求之.3.等比数列有关知识，类比等差数列记忆.4.不要混淆an＝a1·qn－1与Sn＝(q≠1)的指数.【高考模拟】：一、单选题1．等比数列中，若是方程的两根，则的值为A．6B．C．D．1【答案】B【解析】【分析】由韦达定理可得，由等比数列的性质可得.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，属于简单题.等比数列最主要的性质是下标性质：解答比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.2．等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得（，解出．即可．【详解】由成等比数列．可得，可得（，即， 公差不等于零，故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．3．已知为等比数列,,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先由题得，再根据已知得到的值，再求，再求的值.【详解】由题得,因为，所以=.故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查等比数列的基本量的计算，考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.4．等比数列的前项和，成等差数列，，则（）A．15B．-15C．4D．-4【答案】A【解析】【分析】利用成等差数列求出公比即可得到结论．故选：A．【点睛】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．5．设为等比数列的前项和，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，利用可以求出，再根据等比数列的前项和公式可得到结果【详解】设等比数列的公比为，解得则故选【点睛】这是一道关于等比数列的题目，解答此题的关键是熟知等比数列的通项公式及其前项和公式，属于基础题6．定义函数，则函数在区间（）内所有零点的和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：将函数的零点问题转化为函数和函数图象交点的问题处理，利用数形结合的方法求解，在同一坐标系中画出两函数的图象．结合图象得到两函数交点的横坐标，最后转化为等比数列求和的问题解决．详解：由得，故函数的零点即为函数和函数图象交点的横坐标．由可得，函数是以区间为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的．从而先作出函数在区间上的图象，再依次作出在上的图象（如图）．然后再作出函数的图象，结合图象可得两图象的交点在函数的极大值的位置，由此可得函数在区间上的零点为，故所有零点之和为．故选D．点睛：（1）...
