立体几何中的向量方法1．已知平面ABC，点M是空间上任意一点，点M满足条件OM＝OA＋OB＋OC，则直线AM()A．与平面ABC平行B．是平面ABC的斜线C．是平面ABC的垂线D．在平面ABC内答案D解析由已知得M，A，B，C四点共面，所以AM在平面ABC内，故选D.2．如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O－xyz的三条坐标轴上，OC＝(0,0,2)，平面ABC的法向量为n＝(2,1,2)，设二面角C－AB－O的大小为θ，则cosθ等于()A.B.C.D．－答案C解析由题意可知，平面ABO的一个法向量为OC＝(0,0,2)，由图可知，二面角C－AB－O为锐角，由空间向量的结论可知，cosθ＝＝＝.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在A1C上运动(包括端点)，则BP与AD1所成角的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，点P坐标为(x,1－x，x)(0≤x≤1)，则BP＝(x－1，－x，x)，BC1＝(－1,0,1)，因为BC1∥AD1，设BP，BC1的夹角为α，所以cosα＝＝＝，所以当x＝时，cosα取得最大值，α＝.当x＝1时，cosα取得最小值，α＝.故选D.4．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上，且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.B.C.D.15．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析设l与α所成角为θ， cos〈m，n〉＝－，又直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴sinθ＝.∴θ＝30°.答案A6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为()A.B.C.D.解析设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可知CM＝(2，－2，1)，D1N＝(2，2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－，sin〈CM，D1N〉＝.答案B7．设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.解析如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，2∴D1A1＝(2，0，0)，DA1＝(2，0，2)，DB＝(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)．∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.答案D8．二面角αlβ等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于()A.B.C．2D.解析如图， 二面角αlβ等于120°，∴CA与BD夹角为60°.由题设知，CA⊥AB，AB⊥BD，|AB|＝|AC|＝|BD|＝1，|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝3＋2×cos60°＝4，∴|CD|＝2.答案C9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°.(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)设CE＝λCC1(0≤λ≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．3(2)解由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，C1(0，0，)，B1(－1，0，)．所以CC1＝(－1，0，),所以CE＝(－λ，0，λ)，∴E(1－λ，0，λ)，则AE＝(1－λ，－1，λ)，AB1＝(－1，－1，)．设平面AB1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，则得令z＝，则x＝，y＝，，∴n＝， AB⊥平面BB1C1C，BA＝(0，1，0)是平面的一个法向量，∴|cos〈n，BA〉|＝＝＝.两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝(舍去)．∴λ＝1.10．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．(1)求证：平面BDGH∥平面AEF；(2)求二面角H－BD－C的大小．(1)证明在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点．所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，4所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH，因为ABCD为菱形，所以O为AC中点，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.(2)解取EF的中点N，连接ON，因为四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，所以ON∥E...
