立体几何专练1．(2017·武昌调研)如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．解析方法1：空间向量法(1)以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则D(1，0，0)，A(2，2，0)，B(0，2，0)．设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0，且AS＝(x－2，y－2，z)，BS＝(x，y－2，z)，DS＝(x－1，y，z)．由|AS|＝|BS|，得＝，解得x＝1.由|DS|＝1，得y2＋z2＝1.①由|BS|＝2，得y2＋z2－4y＋1＝0.②由①②，解得y＝，z＝.∴S(1，，)，AS＝(－1，－，)，BS＝(1，－，)，DS＝(0，，)，∴DS·AS＝0，DS·BS＝0，∴DS⊥AS，DS⊥BS，又BS∩AS＝S，∴SD⊥平面SAB.(2)设平面SBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则n⊥BS，n⊥CB，∴n·BS＝0，n·CB＝0.又BS＝(1，－，)，CB＝(0，2，0)，∴取z1＝2，则n＝(－，0，2)．又 AB＝(－2，0，0)，∴cos〈AB，n〉＝＝＝.故AB与平面SBC所成角的正弦值为.方法2：综合法(1)如图，取AB的中点E，连接DE，SE，则四边形BCDE为矩形，且DE＝CB＝2，∴AD＝＝. 侧面SAB为等边三角形，AB＝2，∴SA＝SB＝AB＝2，且SE＝.又SD＝1，∴SA2＋SD2＝AD2，SE2＋SD2＝DE2，∴SD⊥SA，SD⊥SE，又SA∩SE＝S，∴SD⊥平面SAB.(2)过点S作SG⊥DE于点G. AB⊥SE，AB⊥DE，又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又AB⊂平面ABCD，∴平面SDE⊥平面ABCD.由平面与平面垂直的性质，知SG⊥平面ABCD.在Rt△DSE中，由SD·SE＝DE·SG，得1×＝2×SG，解得SG＝.过点A作AH⊥平面SBC于点H，连接BH，则∠ABH为AB与平面SBC所成的角． CD∥AB，AB⊥平面SDE，∴CD⊥平面SDE，∴CD⊥SD.在Rt△CDS中，由CD＝SD＝1，得SC＝.在△SBC中，SB＝BC＝2，SC＝，则S△SBC＝××＝.由VA－SBC＝VS－ABC，得S△SBC·AH＝S△ABC·SG，即××AH＝××2×2×，解得AH＝.∴sin∠ABH＝＝.故AB与平面SBC所成角的正弦值为.2．(2016·唐山检测)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.(1)证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；(2)若∠BAD＝60°，求二面角B－OB1－C的余弦值．解析(1) A1O⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴A1O⊥BD，在菱形ABCD中，AC⊥BD， A1O∩AC＝O，∴BD⊥平面A1AC， BD⊂平面BB1D1D，∴平面A1CO⊥平面BB1D1D.(2)因为A1O⊥平面ABCD，AC⊥BD，建立以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在的直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示． AB＝AA1＝2，∠BAD＝60°，∴OB＝1，OA＝， AA1＝2，∴A1O＝1.则O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，A1(0，0，1)，D(－，0，0)，C(－，0，0)，AB＝A1B1＝(－，1，0)，OB＝(0，1，0)，OC＝(－，0，0)，OA1＝(0，0，1)，则OB1＝OA1＋A1B1＝(－，1，1)，设平面BOB1的法向量m＝(x，y，z)，则则y＝0，令x＝，得z＝3，即m＝(，0，3)为平面BOB1的一个法向量．设平面OB1C的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则则x1＝0，令y1＝1，则z1＝－1，则n＝(0，1，－1)为平面OB1C的一个法向量，∴cos〈m，n〉＝＝＝－， 二面角B－OB1－C是钝二面角，∴二面角B－OB1－C的余弦值是－.3．(2017·太原二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD＝AP，E为棱PD的中点．(1)求证：PD⊥平面ABE；(2)若F为AB中点，PM＝λPC(0<λ<1)，试确定λ的值，使二面角P－FM－B的余弦值为－.解析(1)证明： PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB. 四边形ABCD为正方形，∴AB⊥AD， PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD， PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD， PA＝AD，E为PD的中点，∴PD⊥AE， AE∩AB＝A，∴PD⊥平面ABE.(2)以A为原点，以AB，AD，AP所在方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A－xyz，令|AB|＝2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E(0，1，1)，F(1，0，0)，PC＝(2，2，－2)，PM＝(2λ，2λ，－2λ)，M(2λ，2λ，2－2λ)，PF＝(1，0，－2)，BF＝(－1，0，0)，FM＝(2λ－1，2λ，2－2λ)，设平面PFM的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即取x1＝2，则m＝(2，－1，1)．设平面BFM的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则即取z＝λ...
