南通中学数学高考小题专题复习练习推理与证明、数学归纳法一、填空题：（共12题，每题5分）1．设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，，成等比数列．2．设，将的最小值记为，则其中=__________________．3．将全体正整数排成三角形数阵：根据以上的排列规律，第（≥3）行从左向右第3个数是．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．5．观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为．6．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n＋1列的数是．第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…123456789101112131415………………第3行369…………7．设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．8．平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设条这样的直线把平面分成个区域，则条直线把平面分成的区域数．9．（理科做）用数学归纳法证明“”时，第一步验证为．10．（理科做）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”，当第二步假设命题为真时，进而需证时，命题亦真．11．已知函数记数列的前n项和为Sn，且时，则猜想的通项公式．12．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有种走法，则．南通中学数学高考小题专题复习练习答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13．已知△ABC的三边长为有理数．（1）求证cosA是有理数；（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数．推理与证明、数学归纳法1．，解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．2．解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题．3．，解析：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为．4．答案：1:8，解析：考查类比，空间两正四面体“相似”，体积比为相似比的立方1：8．5．解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.6．答案：．7．答案15，5个，4个，3个，2个，1个，合计5+4+3+2+1=15个．8．；9．当时，左边=4=右边，命题正确．10．；11．n+1；12．＋．13．证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数.（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数.①当n=1时，由（1）知cosA是有理数，从而有也是有理数.②假设当n=k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数.当n=k+1时，由=及①和归纳假设，知cos(k+1)A与sinA·sin(k+1)A都是有理数.即当n=k+1时，结论成立.综合①、②可知，对任意正整数n,cosnA是有理数.②
