压轴大题抢分专练（四）1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)右焦点F(1,0)的直线与椭圆C交于A，B两点，自A，B向直线x＝5作垂线，垂足分别为A1，B1，且＝.(1)求椭圆C的方程；(2)记△AFA1，△FA1B1，△BFB1的面积分别为S1，S2，S3，证明：是定值，并求出该定值．解：(1)设A(x，y)，则|AA1|＝|5－x|，|AF|＝，由＝，得＋＝1，而A是椭圆C上的任一点，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：由题意知，直线AB的斜率不可以为0，而可以不存在，∴可设直线AB的方程为x＝my＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4m2＋5)y2＋8my－16＝0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝－.①由题意，S1＝|AA1||y1|＝|5－x1||y1|，S3＝|BB1||y2|＝|5－x2||y2|，S2＝|A1B1|·4＝2|y1－y2|，∴＝·＝·＝－·，将①代入，化简并计算可得＝，∴是定值，且该定值为.2．设an＝xn，bn＝2，Sn为数列{an·bn}的前n项和，令fn(x)＝Sn－1，x∈R，n∈N*.(1)若x＝2，求数列的前n项和Tn；(2)求证：对任意n∈N*，方程fn(x)＝0在xn∈上有且仅有一个根；(3)求证：对任意p∈N*，由(2)中xn构成的数列{xn}满足00时，由函数fn(x)＝－1＋x＋＋＋…＋(x∈R，n∈N*)，可得f′(x)＝1＋＋＋…＋>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．令fn(xn)＝0，当n≥2时，fn(1)＝＋＋…＋>0，即fn(1)>0.又fn＝－1＋＋≤－＋·i＝－＋×＝－×n－1<0，根据函数的零点判定定理，可得存在唯一的xn∈，满足fn(xn)＝0.当n＝1时，显然存在唯一的x1＝1满足f1(x1)＝0.综上所述，对任意n∈N*，方程fn(x)＝0在xn∈上有且仅有一个根．(3)证明：当x>0时，∵fn＋1(x)＝fn(x)＋>fn(x)，∴fn＋1(xn)>fn(xn)＝fn＋1(xn＋1)＝0.由fn＋1(x)在(0，＋∞)上单调递增，可得xn＋10，故数列{xn}为递减数列，1即对任意的n，p∈N*，xn－xn＋p>0.由于fn(xn)＝－1＋xn＋＋＋…＋＝0，①fn＋p(xn＋p)＝－1＋xn＋p＋＋＋…＋＋＝0，②用①减去②并移项，利用0
