第2讲椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.B．1C.D．2解析：因为抛物线方程是y2＝4x，所以F(1，0)．又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程y＝(k＞0)，即＝2，所以k＝2.答案：D2．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为()A．2B.C.D.解析：取渐近线y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为＝，又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e＝2.答案：A3．(2017·河北衡水六调)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.＋＝1B.－＝1C.－＝1D.＋＝1解析：由题意得|PA|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2.所以点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，所以b＝，所以动点P的轨迹方程为＋＝1.答案：D4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()(导学号54850129)A.B．2C．2D．3解析：由题知MF：y＝(x－1)，与抛物线y2＝4x联立得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3，所以M(3，2)．因为MN⊥l，所以N(－1，2)．又F(1，0)，所以直线NF的方程为y＝－(x－1)．故点M到直线NF的距离是＝2.答案：C5．已知双曲线C：x2－＝1的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABF＝()A.B.C.D.解析：由双曲线C：x2－＝1，得a2＝1，b2＝3，故c＝＝2，所以A(1，0)，F(2，0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设BF的方程为y＝(x－2)，代入方程y＝－x，解得B(1，－)，所以S△AFB＝|AF|·|yB|＝×1×＝.答案：B二、填空题6．(2016·全国卷Ⅰ改编)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．解析：因为方程－＝1表示双曲线，所以(m2＋n)·(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，所以|m|＝1.因此－1＜n＜3.答案：(－1，3)7．(2017·邯郸质检)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|等于________．解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP＝4FQ，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4.又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ|′＝3.答案：38．(2017·潍坊三模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M(1，t)(t＞0)到焦点的距离为5，双曲线－＝1(a＞0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为________．解析：由题设1＋＝5，所以p＝8.不妨设点M在x轴上方，则M(1，4)，由于双曲线的左顶点A(－a，0)，且AM平行一条渐近线，所以＝，则a＝3.答案：3三、解答题9．(2017·佛山一中调研)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(1，0)．(导学号54850130)(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．解：(1)依题意可得解得a＝，b＝1.所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意；②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．联立得方程组消去y整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝.所以y1·y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝.因为OM⊥ON，所以OM·ON＝0.所以x1·x2＋y1·y2＝＝0，所以k＝±.故直线l的方程为y＝±(x－1)．10．(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.(1)解：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)，由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－，所以直线DE的方程为y＝－(x－m)，直线BN的方程为y＝(x－2)．联...
