高考数学二轮复习 专题七 选考系列 第1讲 坐标系与参数方程练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

第1讲坐标系与参数方程高考定位高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.解(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.2.(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点.综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.考点整合1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则2.直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsinθ.4.直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量.5.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数).热点一曲线的极坐标方程【例1】(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.解(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋.当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋.探究提高1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和...