高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义习题（含解析）新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于()A．B．3C．－1D．－1或3解析：z＝(2m2＋m－1)＋(3＋2m－m2)i，依题意，2m2＋m－1＝0，且3＋2m－m2≠0，解得m＝.答案：A2．(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A．3，－2B．3，2C．3，－3D．－1，4解析：由于(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i所以3－2i＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等定义，a＝3，且b＝－2.答案：A3．在复平面内，复数z1＝i，z2＝i－2，z＝z1＋z2，则复数z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为z＝z1＋z2＝i＋i－2＝－2＋i，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．答案：B4．若在复平面上的▱ABCD中，AC对应复数为6＋8i，BD对应复数为－4＋6i，则DA对应的复数是()A．2＋14iB．1＋7iC．2－14iD．－1－7i解析：设AB，AD对应的复数分别为z1与z2，则由复数加减法的几何意义，得所以z2＝1＋7i，因此向量DA对应的复数为－z2＝－1－7i.答案：D5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形1解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．答案：B二、填空题6．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________．解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，所以解得a＝－1.答案：－17．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则CD对应的复数是________．解析：因为OA，OB对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，所以BA对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i.又在平行四边形ABCD中，CD＝BA，故CD对应的复数为4－2i.答案：4－2i8．复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则＝________．解析：因为OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，由复数的几何意义，得3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，所以3－2i＝y－x＋(2x－y)i，根据复数相等的充要条件，则解得因此＝4.答案：4三、解答题9．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求m的值．解：z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.(1)若z为实数，则m2－3m＋2＝0，所以m＝1或2.(2)若z为纯虚数，则解得m＝－.故当m＝－时，z为纯虚数．10．在复平面内，A，B，C三点对应的复数1，2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．(1)求向量AD对应的复数；(2)求△ABC的面积．解：(1)由条件知在复平面内B(2，1)，C(－1，2)．则D，点D对应的复数是＋i，AD＝OD－OA＝－(1，0)＝，所以AD对应复数为－＋i.(2)AB＝OB－OA＝(1，1)，|AB|＝，2AC＝OC－OA＝(－2，2)，|AC|＝＝2，BC＝OC－OB＝(－3，1)，|BC|＝，所以|BC|2＝|AC|2＋|AB|2，所以△ABC为直角三角形．所以S△ABC＝|AB|·|AC|＝×2＝2.B级能力提升1．满足|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上所对应的点的轨迹是()A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－i|＝|3＋4i|，所以＝＝5，则x2＋(y－1)2＝25，因此复数z在复平面上对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，以5为半径的圆．答案：C2．设f(z)＝|z|＋z－5，且z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于________．解析：因为z1＝3＋4i，z2＝－2－i，所以z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i.又因为f(z)＝|z|＋z－5，所以f(z1－z2)＝|5＋5i|＋(5＋5i)－5＝5＋5i.答案：5＋5i3．已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．解：(1)因为向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，所以向量AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC＝OA＋AC，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD＝BC，所以向量AD对应的复数为3－i，即AD＝(3，－1)．设D(x，y)，则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为BA·BC＝|BA||BC|cosB，所以cosB＝＝＝＝，sinB＝＝，所以S＝|BA||BC|sinB＝××＝7，所以平行四边形ABCD的面积为7.34