解答题分层综合练(三)中档解答题规范练(3)(建议用时：60分钟)1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．2.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．3．(2015·莱芜模拟)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？(2)经过多次测试后，甲解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；(3)现从选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人对她们的答题情况进行全程研究，记丙、丁2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．下面临界值表仅供参考：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝4.在边长为3的正△ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，且满足AE＝CF＝CP＝1(如图1)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，连接A1B、A1P(如图2)，使平面A1EP⊥平面BPE.(1)求证：A1E⊥平面BEP；(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．5．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；(3)设bn＝(9－n)，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值．6．(2015·青岛摸底考试)已知A(－2，0)，B(2，0)为椭圆C的左，右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．解答题分层综合练(三)中档解答题规范练(3)1．解：(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝.由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为bcsinA＝.法二：由正弦定理，得＝，从而sinB＝.又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝.故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为absinC＝.2．解：以{AB，AD，AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．(1)由题意知，AD⊥平面PAB，所以AD是平面PAB的一个法向量，AD＝(0，2，0)．因为PC＝(1，1，－2)，PD＝(0，2，－2)．设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·PC＝0，m·PD＝0，即令y＝1，解得z＝1，x＝1.所以m＝(1，1，1)是平面PCD的一个法向量．从而cos〈AD，m〉＝＝，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(2)因为BP＝(－1，0，2)，设BQ＝λBP＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB＝(0，－1，0)，则CQ＝CB＋BQ＝(－λ，－1，2λ)，又DP＝(0，－2，2)，从而cos〈CQ，DP〉＝＝.设1＋2λ＝t，t∈[1，3]，则cos2〈CQ，DP〉＝＝≤.当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈CQ，DP〉|的最大值为.因为y＝cosx在上是减函数，所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又因为BP＝＝，所以BQ＝BP＝.3．解：(1)由表中数据得K2＝＝≈5.556>5.024，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．(2)设甲、乙解答同一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)，设事件A为“乙比甲先解答完此题”，则满足的区域为x>y，所以由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝，即乙比甲先解答完的概率为.(3)X的可能取值为0，1，2，由题可知在选择做几何题的8名女同学中任意抽取2...
