【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题三三角函数第25练三角函数的综合应用练习训练目标(1)三角函数图象、性质的应用；(2)三角函数与解三角形的综合.训练题型(1)讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象、性质；(2)三角变换和三角函数的结合；(3)三角函数与解三角形.解题策略(1)讨论三角函数的性质，可先进行三角变换，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或复合函数；(2)解题中贯穿整体代换、数形结合思想；(3)三角函数和解三角形的综合问题，一定要结合正弦、余弦定理，利用三角形中的边角关系.1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值．2．已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos()取最大值时，B的大小．3．已知函数f(x)＝sin(x－)＋cos(x－)，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．14．(2016·襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考)已知函数f(x)＝a·b＋，其中a＝(sinx－cosx，－1)，b＝(cosx,1)．(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且c＝3，f(C)＝0，若sin(A＋C)＝2sinA，求a、b的值．2答案解析1．解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z.由－≤φ<得k＝0，所以φ＝－＝－.(2)由(1)得f()＝·sin(2·－)＝，所以sin(α－)＝.由<α<得0<α－<，所以cos(α－)＝＝＝.因此cos(α＋)＝sinα＝sin[(α－)＋]＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin＝×＋×＝.2．解(1)∵p与q是共线向量，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，∴sin2A＝，sinA＝，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.(2)y＝2sin2B＋cos()＝2sin2B＋cos()＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1－cos2B＋sin2B＝1＋sin(2B－30°)，当函数取最大值2时，2B－30°＝90°，即B＝60°.3．解f(x)＝sin(x－)＋cos(x－)＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx，g(x)＝2sin2＝1－cosx.(1)由f(α)＝得sinα＝.又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1.于是sin(x＋)≥.从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．4．解(1)依题意：m＋n＝(cosA－sinA＋，cosA＋sinA)，3因为|m＋n|＝2，所以(cosA－sinA＋)2＋(cosA＋sinA)2＝4，化简得：sinA＝cosA⇒tanA＝1，故有A＝.(2)依题意，在△ABC中，由正弦定理＝2R＝4，所以a＝2，由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2b·c·cosA，化简得：c2－2c－4＝0，解得c＝＋(负值舍去)．5．解(1)f(x)＝a·b＋＝sinxcosx－cos2x－1＋＝sin2x－(1＋cos2x)－＝sin(2x－)－1.f(x)的最大值为0，最小正周期为π.(2)f(C)＝sin(2C－)－1＝0，又－<2C－<，解得C＝.又∵sin(A＋C)＝sinB＝2sinA，由正弦定理得＝，①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos，即a2＋b2－ab＝9.②由①②解得：a＝，b＝2.4
