河南省南阳市第一中学校2021届高三数学上学期第四次月考试题理一.选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1.设集合,,则()A.B.C.D.2.已知:“函数在上是增函数”,:“”,则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设为等差数列的前项和,,,则()A.-6B.-4C.-2D.24.平面向量,,则向量在向量方向上的投影为()A.B.1C.D.5.如果满足,,的有两个,那么x的取值范围为()A.B.C.D.6.已知当时,取得最大值,则下列说法正确的是()A.是图像的一条对称轴B.在上单调递增C.当时,取得最小值D.函数为奇函数7.已知为定义在上的奇函数,,且对任意的,当时,,则不等式的解集为A.B.C.D.8.已知正方形的边长为,以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点,则的最大值是()A.B.C.D.9.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数,则函数的值域是()A.B.C.D.10.已知数列的通项公式是,其中的部分图像如图所示,为数列的前n项和,则的值为()A.-1B.0C.D.11.已知函数定义域为,且函数的图象关于直线对称.当时,,(其中是的导函数),若,,,则,,的大小关系是()A.B.C.D.12.已知函数,下面是关于此函数的有关命题,其中正确的有()①函数是周期函数;②函数既有最大值又有最小值;③函数的定义域为,且其图象有对称轴;④对于任意的,(是函数的导函数)A.②③B.①③C.②④D.①②③二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知实数满足约束条件,则的最大值是______.14.已知函数为奇函数,则实数a的值为______.15.已知,等差数列的前项和为,且,则的值为___________.16.在四边形中,,,,则四边形的对角线的最大值为______.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤.)17.已知函数,,且.(1)求函数的最小正周期;(2)若函数在区间上有两个不同的零点,求实数的范围.18.在中,角所对的边分别为,且.(1)求角;(2)若是的中点,且,,求的周长.19.记是正项数列的前项和,是和的等比中项.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前项和.20.已知数列的前项和为,若,.(Ⅰ)求证:数列是等差数列;(Ⅱ)求数列的前项和.21.已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)当时,若恒成立,求实数的取值范围.22.已知函数,.(1)求的单调区间;(2)当时,证明:;(3)证明:.(参考数据:自然对数的底数)南阳市一中2020年秋期高三第四次月考理数试题答案1.B2.B3.A4.A5.C6.B7.C8.D9.A10.D11.D12.A13.14.15.16.17.(1)依题意得,,故函数的最小正周期为.(2)由函数在区间上有两个不同的零点,则方程在区间上有两个相异的实根,令,则的图象与直线在区间上有两个交点,由,可得,令,得,因为函数在上单调递增,在上单调递减,所以在上单调递增,在上单调递减,且,,,画出在区间上的图象,如下图,当,即时,的图象与直线在区间上有两个不同交点.故实数的取值范围是.18.(1)由题意,因为,可得.所以,即,因为,所以,所以.(2)因为为的中点,所以在中,因为,,所以.在中,因为,,所以.因为,所以,即,即①在中,由余弦定理可得,即②联立①②,解得.故的周长为.19.(1)因为是和的等比中项,所以①,当时,②,由①②得:,化简得,即或者(舍去),故,数列为等差数列,因为,解得,所以数列是首项为、公差为的等差数列,通项公式:.(2) ,∴.20.解:(Ⅰ)证明:由题意得,,,.又,数列是以1为首项,1为公差的等差数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,则,,,①则,②①②得,,.21.(1)函数的定义域为,,令,得.当时,;当时,.所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)若恒成立,即恒成立时,,即,即,设,则,①当时,,则当时,,函数在上单调递增,此时,即成立,所以,符合题意...