高考数学 专题52 反证法在证明题中的应用黄金解题模板-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题52反证法在证明题中的应用【高考地位】反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.【方法点评】类型一证明“至多”或“至少”问题使用情景：证明“至多”或“至少”问题．解题模板：第一步首先假设命题不成立；第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步最后得出结论.例1.若{正整数}，且。求证：或中至少有一个成立。【答案】详见解析.【变式演练1】(1)已知中至少有一个小于2。（2）已知，求证：.类型二证明“不可能”问题使用情景：证明“不可能”问题．解题模板：第一步首先假设命题不成立；第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步最后得出结论.例2.给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴．【答案】详见解析.【解析】试题分析：要证明经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴，可以考虑假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．然后得出矛盾。证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．设且．由，得，解得．与已知矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.【点评】在证明不可能问题上，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反证法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与已知相矛盾。【变式演练2】（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.类型三证明“存在性”或“唯一性”问题使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题．解题模板：第一步首先假设命题不成立；第二步然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步最后得出结论.例3.求证：方程的解是唯一的．【答案】详见解析.【解析】试题分析：可以假设方程的解有两个，然后得出矛盾。证明：由对数的定义易得，是这个方程的一个解．假设这个方程的解不是唯一的，它还有解，则．，则，即．①由假设，得，从而：当时，有；②当时，有．③显然，②，③与①都矛盾，这说明假设不成立．所以原方程的解是唯一的.【点评】有关存在性与唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法．“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”，“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”．有时问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，也可考虑应用反证法.【变式演练3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A．自然数都是奇数B．自然数都是偶数C．自然数中至少有两个偶数D．自然数中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D考点：反证法.【高考再现】1.【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】试题分析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果与丙的结果相反，丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反，即乙、丁可以知道自己的成绩故选D。【考点】合情推理【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。2.【2016高考山东文数】观察下列等式：；；；；...