课后限时集训(三十八)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直B[由题意得，AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.]2．在空间直角坐标系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则()A．2x＋y＋z＝1B．x＋y＋z＝0C．x－y＋z＝－4D．x＋y－z＝0A[ A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴AB＝(0,1，－1)，AC＝(－2,2,2)，AD＝(x－1，y－1，z＋2)． A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得AD＝λAB＋μAC，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，∴解得2x＋y＋z＝1，故选A.]3．如图所示，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，则NM＝()A.(－a＋b＋c)B.(a＋b－c)C.(a－b＋c)D.(－a－b＋c)B[NM＝NA＋AM＝(OA－ON)＋AB＝OA－OC＋(OB－OA)＝OA＋OB－OC＝(a＋b－c)．]4．在空间直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为A(2,1，－1)，B(3,4，λ)，C(2,7,1)，若AB⊥CB，则λ＝()A．3B．1C．±3D．－3C[由题知，AB＝(1,3，λ＋1)，CB＝(1，－3，λ－1)，由AB⊥CB，可得AB·CB＝0，即1－9＋λ2－1＝0，即λ2＝9，λ＝±3，故选C.]5．已知正四面体ABCD的棱长为1，且AE＝2EB，AF＝2FD，则EF·DC＝()A.B.C．－D．－D[因为AE＝2EB，AF＝2FD，所以EF∥BD，EF＝BD，即EF＝BD，则EF·DC＝BD·DC＝|BD||DC|cos＝－.故选D.]二、填空题6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．垂直[以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M0,1，，O，N，AM·ON＝·＝0，∴ON与AM垂直．]7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．α∥β[设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，由m·AC＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.]8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．2或[ AB与CD成60°角，∴〈BA，CD〉＝60°或120°.又 AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，∴|BD|＝＝＝＝＝，∴|BD|＝2或.∴BD的长为2或.]三、解答题9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．[解](1) c∥BC，BC＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，∴c＝mBC＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2) a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又 |a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.10.如图所示，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点，求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.[证明]建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．(1) E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH. PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)PD＝(0,2，－2)，AH＝(1,0,0)，AF＝(0,1,1)，∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.∴PD⊥AF，PD⊥AH.又 AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.B组能力提升1．若x，y∈R，有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面；④若点P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4B[①正确；②...
