函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于()．A．3B．1C．－1D．－3解析由f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.则b＝－1，f(x)＝2x＋2x－1，f(－1)＝－f(1)＝－3.答案D2．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()．A．－1B．0C．1D．2解析(构造法)构造函数f(x)＝sinx，则有f(x＋2)＝sin＝－sinx＝－f(x)，所以f(x)＝sinx是一个满足条件的函数，所以f(6)＝sin3π＝0，故选B.答案B【点评】根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.3．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝()．A.B.C.D．1解析(特例法) f(x)＝是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴＝－，∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝.答案A【点评】本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错.4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2009)＋f(2011)的值为()A．－1B．1C．0D．无法计算解析由题意得g(－x)＝f(－x－1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2009)＝f(1)，f(2011)＝f(3)＝f(－1)，又 f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2009)＋f(2011)＝0.答案C5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()．A．y＝lnB．y＝x3C．y＝2|x|D．y＝cosx解析f(x)＝ln满足f(－x)＝f(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－lnx，显然f(x)在(0，＋∞)上是减函数，故选A.答案A6．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝()A．10B.C．－10D．－解析由f(x＋6)＝－＝f(x)知该函数为周期函数，周期为6，所以f(107.5)＝f＝f，又f(x)为偶函数，则f＝f＝－＝－＝.答案B7．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区1间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6B．7C．8D．9解析当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，∴y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.答案B二、填空题8.已知函数2()(2)fxxmx3是偶函数,则m=.解析本题考查了函数的奇偶性.f(x)为偶函数,则m+2=0,m=-2.答案-29．设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f的所有x之和为________．解析 f(x)是偶函数，f(2x)＝f，∴f(|2x|)＝f，又 f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2x|＝，即2x＝或2x＝－，整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8.答案－810．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)11．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2013)＝________.解析法一当x＝1，y＝0时，f(0)＝；当x＝1，y＝1时，f(2)＝－；当x＝2，y＝1时，f(3)＝－；当x＝2，y＝2时，f(4)＝－；当x＝3，y＝2时，f(5)＝；当x＝3，y＝3时，f(6)＝；当x＝4，y＝3时，f(7)＝；当x＝4，y＝4时，f(8)＝－；….∴f(x)是以6为周期的函数，∴f(2013)＝f(3＋335×6)＝f(3)＝－.法二 f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，∴构造符合题意的函数f(x)＝cosx，∴f(2013)＝cos＝－.答案－12．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f(x)＝1－x，则2①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递...
