限时规范训练六空间位置关系证明与计算(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1.如图，在直三棱柱ADFBCE中，AB＝BC＝BE＝2，CE＝2.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)若点K在线段BE上，且EK＝，求三棱锥KBDF的体积．解：(1)证明：在直三棱柱ADFBCE中，AB⊥平面BCE，所以AB⊥BE，AB⊥BC.又AB＝BC＝BE＝2，CE＝2，所以BC2＋BE2＝CE2，且AC⊥BD，所以BE⊥BC.因为AB∩BC＝B，所以BE⊥平面ABCD.因为AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.因为BD∩BE＝B，所以AC⊥平面BDE.(2)由(1)可得，AD⊥平面ABEF，因为AB＝BC＝BE＝2，EK＝，所以S△KBF＝××2＝，所以VKBDF＝VDKBF＝S△KBF×DA＝××2＝.2．如图，将菱形AECF沿对角线EF折叠，分别过E，F作AC所在平面的垂线ED，FB，垂足分别为D，B，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°.(1)求证：FC∥平面ADE；(2)若AB＝2BF＝2，求该几何体的体积．解：(1)证明：由题意知FB∥DE，FB⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴FB∥平面ADE，又BC∥AD，BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴BC∥平面ADE.∵FB∩BC＝B，BC，FB⊂平面BFC，∴平面BFC∥平面ADE，又FC⊂平面BFC，∴FC∥平面ADE.(2)连接BD，AC，且BD∩AC＝O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又DE⊥平面ABCD，∴AC⊥ED，又BD∩ED＝D，∴AC⊥平面BDEF，又OC＝OA，∴VCBDEF＝VABDEF，∵AB＝2BF＝2，∠BAD＝60°，∴S四边形BDEF＝1×2＝2，OC＝，∴VCBDEF＝×2×＝，∴该几何体的体积为.3．如图1，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥底面AEFB，G是EF的中点，如图2.(1)求证：DE∥平面AGC；(2)求证：AG⊥平面BCE.证明：(1)由已知AB∥DC∥EF，又AB＝DC＝EF，G是EF的中点，所以CD綊EG，所以四边形DCGE是平行四边形，所以DE∥CG.因为DE⊄平面AGC，CG⊂平面AGC，所以DE∥平面AGC.(2)连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，所以BC⊥底面AEFB，又AG⊂底面AEFB，所以BC⊥AG.因为AB綊EG，AB＝AE.所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥BE.又BC∩BE＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG⊥平面BCE.4．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝.(1)求证：平面EBC⊥平面EBD；(2)设M为线段EC上一点，且3EM＝EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为AD＝1，CD＝2，AC＝，所以AD2＋CD2＝AC2，所以△ADC为直角三角形，且AD⊥DC.同理，因为ED＝1，CD＝2，EC＝，所以ED2＋CD2＝EC2，所以△EDC为直角三角形，且ED⊥DC.又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥DE，又AD∩DC＝D，所以ED⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以ED⊥BC.在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于点H，故四边形ABHD是正方形，所以∠ADB＝45°，BD＝.在Rt△BCH中，BH＝CH＝1，所以BC＝，故BD2＋BC2＝DC2，所以BC⊥BD.因为BD∩ED＝D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD，所以BC⊥平面EBD，又BC⊂平面EBC，所以平面EBC⊥平面EBD.(2)在线段BC上存在一点T，使得MT∥平面BDE，此时3BT＝BC.连接MT，在△EBC中，因为＝＝，所以MT∥EB.又MT⊄平面BDE，EB⊂平面BDE，所以MT∥平面BDE.
