湘中名校2015-2016年上学期高二期末考试理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1、复数i(2-i)=（）A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i2、已知，，则p是q的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3、已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=（）A.21B.42C.63D.844、在△ABC中，，则A等于（）A．60°B．45°C．120°D．30°5、曲线与曲线（k<9）的（）A、长轴长相等B、短轴长相等C、离心率相等D、焦距相等6、已知向量a=(1,1,0),b=（-1,0,2），且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是A、1B、C、D、7、函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]，(0,1)D．[－1,0)，(0,1]()A.B.C.D.9、设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝5x＋y的最大值()A．2B．3C．4D．510、若lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为()．A．B．C．D．211、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝11二、填空题（每小题5分，共20分）13、命题“”的否定为_________________________.14、点（7，-4）到抛物线的焦点的距离是______________.15、在棱长为1的正方体ABCD—中，M和N分别为和的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是_____________________.16、已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上是增函数，则m的取值范围是____________________.三、解答题：17、(10分)已知，设p：函数在上单调递减；q：曲线与x轴交于不同的两点，如果p且q为假命题，p或q为真命题,求实数a的取值范围.18、（12分）数列满足(1)求并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明（1）中的猜想；(3)设，求数列的前n项和。.19、（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．220、（12分）在三角形ABC中，已知求c及三角形ABC的面积S；求sin(A+B).21．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左．右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点P。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。22、（12分）设函数2ln1fxxaxx，其中aR.3（Ⅰ）当a=1时，求函数fx的极值；（Ⅱ）当时，若满足0,0xfx成立，求a的取值范围.4湘中名校2015-2016年上学期高二期末考试理科数学期末考试答案一、选择题：1-5：ABBCD；6-10:DAADB；11-12：BA二、填空题：13、14、515、16、[2,4]三、解答题：略19、(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D1E∥A1B.又D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.(2)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)，A1(1,0,2)．可求得平面的一个法向量n＝(－2,2,1)，平面的一个法向量m＝(1，－1,1)．设m与n的夹角为α，二面角A1－BD－C1为θ，显然θ为锐角，∴cosα＝＝＝－.∴cosθ＝，即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为.20、由正弦定理521、（1）椭圆的标准方程为.（2）设，，由，得，即所以，又因所以，①另由，得依韦达定理得，②将②式代入①式，整理得，解得，，或所以，，或.分别代入直线的方程得，的方程为，或为.因直线不过右顶点P（2，0），故直线方程应舍去.所以，直线的方程为，显然，直线过定点（，0）.22、（1）定义域为；当a=1时，6OxylPAB（2）2121211axaxafxaxaxx，令221gxaxaxa。2219212148agxaxaxaax若9108a，即：时，则0gx在上恒成立，从而0fx在上恒成立，函数fx在上单调递增；而f(0)=0，所以符合题意；若9108a，即：89a，由于110,1210gga，则gx在在1,上有两个零点，从而函数fx在1,上有两个极值点12,xx且1214xx；综上所述，a的取值范围是[0,1]。7
