直线问题常见错误例析 专题辅导 不分版本VIP专享VIP免费

直线问题常见错误例析聂文喜直线是曲线与方程的重要内容，理解与解决点线问题时常犯错误。本文对直线问题常见的几类典型错误进行举例评析，以期引起同学们的注意。一.忽视斜率不存在致误例1.求经过点（2，3），并且与点（1，1）的距离为1的直线方程。错解：设所求直线方程为ykx32()，即kxyk230。由题意得dkkk||1123112解得k34故所求直线方程为3460xy剖析：上述解法未考虑斜率不存在的情况。事实上，当斜率k不存在时，x2，符合题意，故所求直线方程为3460xy或x2。评注：若将直线方程设为点斜式或斜截式时，则解题时需以斜率存在与斜率不存在两种情况分类讨论。二.未考虑截距为零致误例2.求过点（1，2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程。错解：由题意可设所求直线方程为xaya1，点（1，2）代入直线方程得a3。故所求直线方程为xy30剖析：上述解法未考虑截距为0的情况。其实，当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距均为零，即y=2x符合题意，故所求直线方程为xyyx302或。评注：若将直线方程设为截距式，则需分截距为零与截距不为零两种情况讨论。三.截距与距离混同致误例3.求过点（2，1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程。错解：设所求直线方程为xayb1由题意||||abab211解得abab3311或故所求直线方程xyxy310或剖析：上述解法既有增解，又有漏解。事实上，直线在x（或y）轴上的截距是直线与x（或y）轴交点的横（或纵）坐标，所以截距可为正，可为负，也可为零，而距离不能为负。所以截距与距离是两个不同的概念。故上述解法中xy10是增解，且漏掉了截距为零的情况。正解：当直线过原点时，yx12符合题意；当直线不过原点时，易求得xy30，故所求直线方程为yx12和xy30。四.未考虑特殊位置致误例4.已知直线l过点M（0，5），且到点A（2，4）与点B（4，2）的距离相等，求直线l的方程。错解：由题意知，所求直线过点M且与直线AB平行，故所求直线方程xy50。用心爱心专心115号编辑1剖析：上述解法未考虑特殊位置致错。事实上，当直线l过点M和AB的中点时，符合题意，由两点式可求得直线方程为23150xy，故所求直线方程为xy50或23150xy。五.未挖掘直线系方程中的隐含条件致误例5.求过直线24020xyxy和的交点，且到原点的距离为2的直线方程。错解：设所求直线方程为：242021420xyxyxy()()()即由题意得||()()4221222解得12故所求直线方程为xy20剖析：直线系方程AxByCAxByC1112220()是表示经过两直线l1和l2交点的直线方程，但不包括直线l2的方程，上述解法正是遗漏了直线l2的方程，即xy20也符合题意。故所求直线方程为xy20和xy20。评注：在运用直线系方程解题时，一定要考虑直线l2是否合符题意。六.l1与l2的夹角与l1到l2角公式混同致误例6.一条直线过点P（1，2），且被两条平行直线43104360xyxy和截得的弦长为2，求这两条直线的方程。错解：两条平行线的距离d||1645122故所求直线与两平行线的夹角为45°设所求直线方程为ykx21()则由题意有kk431431解得k17故所求直线方程为xy7150剖析：上述解法误用ll12到角公式代替了两直线的夹角公式。正确的解法应由：kk431431用心爱心专心115号编辑2解得kk177或故所求直线方程为xyxy7150750或七.忽视倾斜角、斜率的取值范围致误例7.已知点A（12，）、B()23，，直线lykx：1与线段AB相交，试求实数k的取值范围。错解：因直线lykx：1恒过点P()01，，直线PA的斜率为k13，直线PB的斜率为k22，故实数k的取值范围是32k。剖析：如图1所示，当直线lykx：1的斜率大于或等于直线PB的斜率2，或直线l的斜率小于或等于PA的斜率3时，直线l与线段AB恒相交，故实数k的取值范围应为，，32。图1八.忽视两直...