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直线问题常见错误例析 专题辅导 不分版本VIP免费

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直线问题常见错误例析聂文喜直线是曲线与方程的重要内容,理解与解决点线问题时常犯错误。本文对直线问题常见的几类典型错误进行举例评析,以期引起同学们的注意。一.忽视斜率不存在致误例1.求经过点(2,3),并且与点(1,1)的距离为1的直线方程。错解:设所求直线方程为ykx32(),即kxyk230。由题意得dkkk||1123112解得k34故所求直线方程为3460xy剖析:上述解法未考虑斜率不存在的情况。事实上,当斜率k不存在时,x2,符合题意,故所求直线方程为3460xy或x2。评注:若将直线方程设为点斜式或斜截式时,则解题时需以斜率存在与斜率不存在两种情况分类讨论。二.未考虑截距为零致误例2.求过点(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程。错解:由题意可设所求直线方程为xaya1,点(1,2)代入直线方程得a3。故所求直线方程为xy30剖析:上述解法未考虑截距为0的情况。其实,当直线经过原点时,直线在两坐标轴上的截距均为零,即y=2x符合题意,故所求直线方程为xyyx302或。评注:若将直线方程设为截距式,则需分截距为零与截距不为零两种情况讨论。三.截距与距离混同致误例3.求过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程。错解:设所求直线方程为xayb1由题意||||abab211解得abab3311或故所求直线方程xyxy310或剖析:上述解法既有增解,又有漏解。事实上,直线在x(或y)轴上的截距是直线与x(或y)轴交点的横(或纵)坐标,所以截距可为正,可为负,也可为零,而距离不能为负。所以截距与距离是两个不同的概念。故上述解法中xy10是增解,且漏掉了截距为零的情况。正解:当直线过原点时,yx12符合题意;当直线不过原点时,易求得xy30,故所求直线方程为yx12和xy30。四.未考虑特殊位置致误例4.已知直线l过点M(0,5),且到点A(2,4)与点B(4,2)的距离相等,求直线l的方程。错解:由题意知,所求直线过点M且与直线AB平行,故所求直线方程xy50。用心爱心专心115号编辑1剖析:上述解法未考虑特殊位置致错。事实上,当直线l过点M和AB的中点时,符合题意,由两点式可求得直线方程为23150xy,故所求直线方程为xy50或23150xy。五.未挖掘直线系方程中的隐含条件致误例5.求过直线24020xyxy和的交点,且到原点的距离为2的直线方程。错解:设所求直线方程为:242021420xyxyxy()()()即由题意得||()()4221222解得12故所求直线方程为xy20剖析:直线系方程AxByCAxByC1112220()是表示经过两直线l1和l2交点的直线方程,但不包括直线l2的方程,上述解法正是遗漏了直线l2的方程,即xy20也符合题意。故所求直线方程为xy20和xy20。评注:在运用直线系方程解题时,一定要考虑直线l2是否合符题意。六.l1与l2的夹角与l1到l2角公式混同致误例6.一条直线过点P(1,2),且被两条平行直线43104360xyxy和截得的弦长为2,求这两条直线的方程。错解:两条平行线的距离d||1645122故所求直线与两平行线的夹角为45°设所求直线方程为ykx21()则由题意有kk431431解得k17故所求直线方程为xy7150剖析:上述解法误用ll12到角公式代替了两直线的夹角公式。正确的解法应由:kk431431用心爱心专心115号编辑2解得kk177或故所求直线方程为xyxy7150750或七.忽视倾斜角、斜率的取值范围致误例7.已知点A(12,)、B()23,,直线lykx:1与线段AB相交,试求实数k的取值范围。错解:因直线lykx:1恒过点P()01,,直线PA的斜率为k13,直线PB的斜率为k22,故实数k的取值范围是32k。剖析:如图1所示,当直线lykx:1的斜率大于或等于直线PB的斜率2,或直线l的斜率小于或等于PA的斜率3时,直线l与线段AB恒相交,故实数k的取值范围应为,,32。图1八.忽视两直...

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