小题专练·作业(十二)一、选择题1．(2017·兰州实战模拟)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C，C1D与底面ABCD所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为()A.B.C.D.答案A解析如图，连接A1D，A1C1，记BC＝a，由B1C与底面ABCD所成的角为60°，可得∠B1CB＝60°，∴BB1＝a，B1C＝2a.由C1D与底面ABCD所成的角为45°，可得∠C1DC＝45°，∴CD＝CC1＝a. B1C∥A1D，∴∠C1DA1是异面直线B1C与C1D所成的角．在△A1DC1中，A1C1＝2a，A1D＝2a，C1D＝a，由余弦定理，得cos∠C1DA1＝，选A.2．(2017·广州综合测试)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为()A.B.C.D.答案C解析本题考查正方体的性质．设AA1的中点为N，连接MN，NB，BC1，MC1，AD1，则MN∥AD1∥BC1，平面MNBC1就是过正方体中C1，B，M三点的截面，因为正方体的棱长为2，所以A1M＝A1N＝1，所以MN＝，同理BC1＝2.又MC1＝BN＝＝，所以梯形MNBC1的高h＝＝，所以所求截面的面积为S梯形MNBC1＝×(＋2)×＝，故选C.3．(2017·郑州三次预测)如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是()A．2＋B．2＋C．4＋D．4＋答案A解析由三视图知该几何体是一个三棱柱与一个半圆柱的组合体，其中三棱柱的底面是腰长为的等腰直角三角形，高为2，半圆柱的底面半径为1，高为1，所以该几何体的体积为×××2＋×π×12＝2＋，故选A.4．(2017·湖北四校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．16B．(10＋)πC．4＋(5＋)πD．6＋(5＋)π答案C解析该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的结合体，其表面积为S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.5．(2017·兰州三校联考)某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是()①该几何体的体积为；②该几何体为正三棱锥；③该几何体的表面积为＋；④该几何体外接球的表面积为3π.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案B解析根据该几何体的三视图，可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，其底面为一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，它的另外三条棱长均为，显然其是一个正三棱锥，②正确；该几何体的体积V＝××1×1×1＝，①正确；该几何体的表面积S＝3××1×1＋×××＝＋，③错误；该几何体外接球的直径为2R＝＝，所以其外接球的表面积为4πR2＝3π，④正确．故选B.6．(2117·福州质检)三棱锥A－BCD中，△ABC为等边三角形，AB＝2，∠BDC＝90°，二面角A－BC－D的大小为150°，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为()A．7πB．12πC．16πD．28π答案D解析满足题意的三棱锥A－BCD如图所示，设三棱锥A－BCD的外接球的球心为O，半径为R，△BCD，△ABC的外接圆的圆心分别为O1，O2，易知O，O1，O2在同一平面内，由二面角A－BC－D的大小为150°，易得∠OO1O2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD，△ABC的外接圆的半径分别为r1＝＝、r2＝＝2.在等边△ABC中，由AB＝2，得AO1＝3，O1O2＝1.在Rt△OO2O1中， ∠OO1O2＝60°，O1O2＝1，∴OO2＝.在Rt△OO2B中，得OB＝＝，∴三棱锥A－BCD的外接球表面积为28π，故选D.7．(2017·银川质检)点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为()A．2πB．4πC．8πD．16π答案D解析本题考查四面体的外接球的表面积．因为S△ABC＝×()2＝3为定值，要使四面体ABCD的体积最大，只需点D到平面ABC的距离h最大．由题意得S△ABCh≤3，解得h≤3，所以h的最大值为3.当h最大时，设AC的中点为E，因为AB＝BC，AB⊥BC，所以AC＝2，DE⊥平面ABC，且球心在DE上．设球的半径为r，则r2＝(3－r)2＋()2，解得r＝2，所以这个球的表面积为4πr2＝4π×22＝16π，故选D.8．(2016·合肥质检)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，AB＝AC＝2，PA＝2，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π答案A解析由题意可得△ABC是边长为2的正三角形，设其外接圆的半径为r，则2r＝＝4，r＝2.又外接球的球心在PA的中垂面上，则外接球的半径R＝＝，所以该球的表面积为4πR2＝4π()2＝20π，选项A正确．9．(2017·东北...
