高考大题标准练(四)满分60分,实战模拟,60分钟拿到高考主观题高分!1.已知{an}是等比数列,{bn}满足b1=-2,b2=5,且a1b1+a2b2+…+anbn=2+(2n-3)·4n.(1)求{an}的通项公式和前n项和Sn.(2)求{bn}的通项公式.【解析】(1)因为a1b1+a2b2+…+anbn=2+(2n-3)·4n,所以a1b1=2-4=-2,a1b1+a2b2=2+(4-3)·42=18,a2b2=20,b1=-2,b2=5,a1=1,a2=4,因为{an}是等比数列,=4,所以{an}的通项公式为an=4n-1,所以{an}的前n项和Sn==.(2)由an=4n-1及a1b1+a2b2+…+anbn=2+(2n-3)·4n,得b1+4b2+…+4n-1bn=2+(2n-3)·4n①n≥2时,b1+4b2+…+4n-2bn-1=2+(2n-5)·4n-1②①-②得,当n≥2时,4n-1bn=2+(2n-3)·4n-2-(2n-5)·4n-1=(6n-7)4n-1,所以n≥2时,bn=6n-7.又当n=1时,b1=-2,所以{bn}的通项公式为bn=2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B=60°,AC=2.(1)证明:AB1⊥CC1.(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3,求二面角B1-AC-C1的余弦值.【解析】(1)取CC1的中点O,连接AO,AC1,B1C,B1O,由菱形的性质及∠ACC1=∠CC1B1=60°.得△ACC1,△B1CC1为正三角形.所以AO⊥CC1,B1O⊥CC1,且AO∩B1O=O.所以CC1⊥平面AOB1,因为AB1⊂平面AOB1,所以CC1⊥AB1.(2)三棱锥A-A1B1C1的体积是三棱柱ABC-A1B1C1体积的三分之一,得四棱锥A-BCC1B1的体积是三棱柱ABC-A1B1C1体积的三分之二,即等于2.菱形BCC1B1的面积为=2×2×sin60°=2.设四棱锥A-BCC1B1的高为h,则×2×h=2,所以h=,又AO==h,AO⊥平面BCC1B1,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,),B1(,0,0),C(0,-1,0).=(,1,0),=(0,1,),设平面CAB1的一个法向量为n1=(x,y,z),则取一个法向量为n1=(,-3,),显然n2=(1,0,0)是平面C1CA的一个法向量.则cos===.所以二面角B1-AC-C1的余弦值为.3.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时,可以一次性额外购买几次维修服务,每次维修服务费用200元,另外实际维修一次还需向维修人员支付小费,小费每次50元.在机器使用期间,如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,则每维修一次需支付维修服务费用500元,无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数,得下面统计表:维修次数89101112频数1020303010以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示1台机器三年内共需维修的次数,n表示购买1台机器的同时购买的维修次数.(1)求X的分布列.(2)若要求P(X≤n)≥0.8,确定n的最小值.(3)以在维修上所需费用的期望值为决策依据,在n=10与n=11之中选其一,应选用哪个?【解析】(1)由统计表并以频率代替概率可得,X的分布列为X89101112p0.10.20.30.30.1(2)因为P(X≤10)=0.1+0.2+0.3=0.6<0.8,P(X≤11)=0.1+0.2+0.3+0.3=0.9>0.8,所以n的最小值为11.(3)记当n=10时,在维修上所需费用为Y1元,则Y1的分布列为Y124002450250030003500p0.10.20.30.30.1所以E(Y1)=2400×0.1+2450×0.2+2500×0.3+3000×0.3+3500×0.1=2730(元).记当n=11时,在维修上所需费用为Y2元,则Y2的分布列为Y226002650270027503250p0.10.20.30.30.1所以E(Y2)=2600×0.1+2650×0.2+2700×0.3+2750×0.3+3250×0.1=2750(元).因为E(Y1)0)的焦点为F,准线为l.已知点M在抛物线E上,点N在l上,△MNF是边长为4的等边三角形.(1)求p的值.(2)若直线AB是过定点Q(2,0)的一条直线,且与抛物线E交于A,B两点,过Q作AB的垂线与抛物线E交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.【解析】(1)由题意知|MF|=|MN|,则MN⊥l.设准线l与x轴交于点H,则MN∥HF,又△MNF是边长为4的等边三角形,∠MNF=60°,所以∠NFH=60°,即p=2.(2)设直线AB的方程为x=my+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y2-4my-8=0,则y1+y2=4m,y1·y2=-8,|AB|=|y1-y2|==4,设C(x3,y3),D(x4,y4),同理得|CD|=4·,则四边形ACBD的面积S=|AB|·|CD|=8···=8·,令m2+=μ(μ≥2),则S=8=8,所以S=8是关于μ的增函数,故Smin=48,当且仅当m=±1时取得最小值48.5.已知函数f(x)=,g(x)=x+b,其中a≠0,b≠0.(1)若a=1,讨论F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若b=2a-1,且x1,x2是φ(x)=x[f(x)-g(x)]的两个极值点,求证:当|x1-x...
