专题20坐标系与参数方程1．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcosπ4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解析】(1)由ρ＝2知ρ2＝4，故圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.因为ρ2－2ρcosπ4＝2，所以ρ2－2ρπ4＝2，故圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinπ4＝22.2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinπ4＝22(ρ≥0，0≤θ<2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．3．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．4．已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝364cos2θ＋9sin2θ.(1)若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)是曲线C上的一个动点，求3x＋4y的最大值．【解析】(1)由ρ2＝364cos2θ＋9sin2θ，得4ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝36，∴曲线C的直角坐标方程为x29＋y24＝1.(2)设P(3cosθ，2sinθ)，则3x＋4y＝9cosθ＋8sinθ＝sin(θ＋φ)． θ∈R，∴当sin(θ＋φ)＝1时，3x＋4y取得最大值，最大值为.5．已知在极坐标系中点C的极坐标为π3.(1)求出以点C为圆心，半径为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．【解析】(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，AC2＝OA2＋OC2－2OA·OCcosπ3，即4＋ρ2－4ρcosπ3＝4.∴圆C的极坐标方程ρ＝4cosπ3.6．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝cosθ.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．【解析】(1) ρ＝cosθ，∴x2＋y2＝x，即12＋y2＝14.(2)设P(2cosα，sinα)，易知C21，0，∴|PC2|＝＝1＋2sin2α＝94，当cosα＝12时，|PC2|取得最小值，|PC2|min＝72，∴|PQ|min＝7－12.7．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρcosπ4＝2.(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离．8．在直角坐标平面内，直线l过点P(1，1)，且倾斜角α＝π4.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．【解析】(1) ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，则x2＋y2－4y＝0，即圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.(2)由题意，得直线l的参数方程为2(t为参数)．将该方程代入圆C的方程x2＋y2－4y＝0，得2t＋2t－42t＝0，即t2＝2，∴t1＝，t2＝－.即|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.9．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为x＝t，y＝at(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sinθ)＝12，定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．(2)直线l的直角坐标方程为y＝ax，根据题意，得圆心(3，1)到直线的距离d≤＝1，即|3a－1|a2＋1≤1，解得0≤a≤34.∴实数a的取值范围为34.10．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cos...
