专题十三变化率与导数、导数的计算【高频考点解读】1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的几何意义．3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．4.能利用常见的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．5.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．【热点题型】题型一导数的概念例1、直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,2)，则ab＝()A．－8B．－6C．－1D．5【提分秘籍】1．并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，如函数y＝|x|在点x＝0处就没有导数，但在定义域上的其他点处都有导数．2．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．3．曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．【举一反三】曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为()A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝0解析： f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.答案：A【热点题型】题型二导数的运算例2、函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案：C【提分秘籍】1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0且n∈Q，(cosx)′＝－sinx.2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax－1.3．导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．【举一反三】函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx【热点题型】题型三导数的几何意义例3、(1)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2(2)已知曲线y＝x3＋.①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．【提分秘籍】1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．【热点题型】题型四利用导数的几何意义求参数值或范围例4、(1)已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)的直线方程为y＝ax＋16，与曲线y＝f(x)相切，则实数a的值是()A．－3B．3C．6D．9(2)(年温州第一次适应性测试)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．【提分秘籍】利用导数的几何意义，求参数值或参数范围时要注意判断已知点是否为切点．【热点题型】题型五求切线倾斜角的范围例5、点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A.B.∪C.D.【解析】因为y′＝3x2－1，所以tanα＝3x2－1≥－1，又α≠，故α∈∪.【答案】B【提分秘籍】利用导数的几何意义，先确定切线斜率的范围，再根据k＝tanα，α∈[0，π)及正切函数图象可求倾斜角α的范围．【举一反三】设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．【高考风向标】1．[·安徽卷]设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0
