课时作业9平面向量数量积的坐标表示时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．(多选)设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中错误的是(ABC)A．|a|＝|b|B．a·b＝C．a∥bD．a－b与b垂直解析：因为|a|＝1，|b|＝，所以|a|≠|b|，又a·b＝1×＋0×＝≠，易知a与b不共线，所以A，B，C均不正确；因为a－b＝，且(a－b)·b＝×＋×(－)＝0，所以(a－b)⊥b.2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是(A)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：AC＝(－3,3)，AB＝(1,1)，AC·AB＝0，∴A＝.△ABC为直角三角形．3．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb，若b⊥c，则实数k的值等于(A)A．－B．－C．D．解析：因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－，故选A．4．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(C)A．B．C．5D．25解析： a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5.5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(D)A．B．C．D．解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)． (c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，∴解得即c＝.6．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a、b的夹角为(A)A．－θB．θ－C．＋θD．θ解析：设a与b的夹角为α，则cosα＝＝＝－sinθ，因为θ∈(，π)，α∈[0，π]，所以α＝π－θ.二、填空题7．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)，且2a－b与b垂直，则|a|等于2.解析：2a－b＝(3，n)， (2a－b)·b＝0，∴n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|2＝1＋n2＝4，∴|a|＝2.8．已知平面向量a与b的夹角为π，a＝(，1)，|a－2b|＝2，则|a|＝2，|b|＝1.解析：a＝(，1)，所以|a|＝2；又|a－2b|＝2，所以|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝12，即22－4×2×|b|×cosπ＋4|b|2＝12，整理得|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1或|b|＝－2(舍去)，所以|b|＝1.9．△ABO三顶点坐标为A(1,0)、B(0,2)、O(0,0)、P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为3.解析： AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1， BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.三、解答题10．已知AB＝(6,1)，BC＝(4，k)，CD＝(2,1)．(1)若A、C、D三点共线，求k的值；(2)在(1)的条件下，求向量BC与CD的夹角的余弦值．解：(1)AC＝AB＋BC＝(10，k＋1)，又A、C、D三点共线，∴AC∥CD.∴10×1－2(k＋1)＝0，解得k＝4.(2)设向量BC与CD的夹角为θ，由(1)得BC＝(4,4)，则BC·CD＝2×4＋1×4＝12，又|BC|＝＝4，|CD|＝＝，则cosθ＝＝＝.即向量BC与CD的夹角的余弦值为.11．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．解：m、n的夹角不能为60°.证明：假设m、n的夹角能为60°，则cos60°＝，∴m·n＝|m||n|.①又 a＝(1,0)，b＝(0,1)，∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0.∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，②|m||n|＝·＝k2＋1.③由①②③，得2k＝(k2＋1)，∴k2－4k＋1＝0. 该方程无整数解．∴m、n的夹角不能为60°.——能力提升类——12．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则点P的坐标是(C)A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析：设点P的坐标为(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，AP·BP有最小值1，此时点P的坐标为(3,0)，故选C．13．在△ABC中，AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则k的值为－或或.解析：当∠A＝90°时，AB·AC＝0，∴2×1＋3×k＝0，∴k＝－.当∠B＝90°时，AB·BC＝0，BC＝AC－AB＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)．∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，∴k＝.当∠C＝90°时，AC·BC＝0，∴－1＋k(k－3)＝0，∴k＝.综上所述：k＝－或或.14．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，且DF＝2FC，则AE·BF的值是.解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ...
