重难增分训练（四）立体几何的创新问题1．(2017·江西模拟)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D 在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.故选D.2．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为()A．1B.C.D.解析：选A由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PM＝AA1＝1.3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．线段BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．线段BC的中点与B1C1的中点连成的线段解析：选A设点P是侧面BCC1B1或其边界上的任意一点，连接AP，AB1，因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1⊥AB1，又AP⊥BD1，所以，BD1⊥平面AB1P，同理，BD1⊥平面ACP.所以，平面AB1P与平面ACP重合，所以P点的轨迹是B1C，故选A.4．(2018届高三·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的个数是()①存在点E，使得直线SA⊥平面SBC;②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．A．0B．1C．2D．3解析：选B由题意，得SA⊥SE，若存在点E，使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则1SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．故选B.5.如图，△PAD是正三角形，四边形ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD，点M为平面ABCD内的一个动点，MP＝MC，则点M在正方形内的轨迹是()解析：选A以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，设M(x，y)，作PG⊥AD于G，MQ⊥AD于Q，连接GM，设AB＝1，则PM＝，MC＝.所以，由MP＝MC得＝，化简得y＝－2x＋1，故选A.6.(2018届高三·浙江名校联考)棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为平面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为()A．2B.C.D．2解析：选B在CC1的延长线上取一点M，使MC1＝C1E，记BC的中点为N，连接PM，MN，QN(如图所示)，则PE＝PM，QE＝QN，所以△PEQ的周长L＝PQ＋PE＋QE＝PQ＋PM＋QN≥MN＝＝，故选B.7．(2017·湖北荆州中学月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ACD沿AC折起，记折起后的D为D1，且D1在平面ABC内的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A．2B．3C．4D．5解析：选B如图，设D1在平面ABC内的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC， D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC. D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1，又BC⊂平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1. BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1.∴共有3对平面互相垂直．故选B.8．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后各元素相对位置的变化，AB，CD，EF和GH在原正方体2中如图，有AB与CD，EF与GH，AB和GH三对异面直线．答案：39．(2017·河北质检)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于________．解析：如图，分别取BB1，CC1的中点E，...
