第五节指数与指数函数A组基础题组1.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为()A.18B.21C.24D.27答案D∵2x=8y+1=23(y+1),∴x=3y+3,①∵9y=3x-9=32y,∴x-9=2y,②解①②得x=21,y=6,∴x+y=27.2.函数y=ax-1a(a>0,且a≠1)的图象可能是()答案D当x=-1时,y=1a-1a=0,所以函数y=ax-1a的图象必过定点(-1,0),结合选项可知选D.3.设y1=40.9,y2=80.48,y3=(12)-1.5,则()A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2答案Dy1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=(12)-1.5=21.5.因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增,所以y1>y3>y2.4.设x>0,且1
0,∴b>1,∵bx1,∴ab>1⇒a>b,∴10,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围是.答案(0,1)解析因为函数y=ax-b的图象经过第二、三、四象限,所以函数y=ax-b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x=0,则y=a0-b=1-b,由题意得{01,故ab∈(0,1).7.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是.答案[2,+∞)解析由f(1)=19得a2=19,所以a=13或a=-13(舍去),即f(x)=(13)|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.8.函数y=(14)x-(12)x+1在区间[-3,2]上的值域是.答案[34,57]解析令t=(12)x,则t∈[14,8],y=t2-t+1=(t-12)2+34.2当t=12时,ymin=34;当t=8时,ymax=57.故所求函数的值域为[34,57].9.已知函数f(x)=(13)ax2-4x+3.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.解析(1)当a=-1时,f(x)=(13)-x2-4x+3,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=(13)t在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=(13)g(x),由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有{a>0,3a-4a=-1,解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1.(3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+∞),应使y=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(若a≠0,则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R).故a的值为0.10.已知函数f(x)=10x-10-x10x+10-x.(1)判断函数的奇偶性;(2)证明:f(x)在定义域内是增函数;(3)求f(x)的值域.解析(1)因为f(x)的定义域为R,3且f(-x)=10-x-10x10-x+10x=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)=10x-10-x10x+10-x=102x-1102x+1=1-2102x+1,任取x1,x2∈R,且令x2>x1,则f(x2)-f(x1)=(1-2102x2+1)-(1-2102x1+1)=2×102x2-102x1(102x2+1)(102x1+1).因为x2>x1,所以102x2-102x1>0,又102x2+1>0,102x1+1>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在定义域内是增函数.(3)令y=f(x),由y=10x-10-x10x+10-x,解得102x=1+y1-y,因为102x>0,所以-1f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<2答案D作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图中实线所示,又af(c)>f(b),结合图象知f(a)<1,a<0,0f(c),即1-2a>2c-1,∴2a+2c<2,故选D.2.已知函数f(x)=2x-12x,函数g(x)={f(x),x≥0,f(-x),x<0,则函数g(x)的最小值是.答案04解析当x≥0时,g(x)=f(x)=2x-12x为单调增函数,所以g(x)≥g(0)=0;当x<0时,g(x)=f(-x)=2-x-12-x为单调减函数,所以g(x)≥g(0)=0,所以函数g(x)的最小值是0.3.设a>0,且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值为.答案13或3解析令t=ax(a>0,且a≠1),则原函数可化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).当01时,由x∈[-1,1],得t=ax∈[1a,a],此时f(t)在[1a,a]上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,所以(a+1)2=16,即a=-5(舍去)或a=3.综上,a=13或a=3.4.已知函数f(x)=1-42ax+a(a>0,且a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2恒成立,求实数t的取值范围.解析(1)因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).即1-42a-x+a=-1+42ax+a,所以a=2.5(2)记y=f(x),即y=2x-12x+1,所以2x=1+y1-y.由2x>0,得1+y1-y>0,解得-1
