直接证明与间接证明(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·周口模拟)用反证法证明命题:若a+b+c为偶数,则“自然数a,b,c恰有一个偶数”时正确反设为()A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数C.自然数a,b,c中至少有两个偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】选D.由于“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”,故选D.2.(2016·宜昌模拟)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个等号不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.3.(2016·东城模拟)在△ABC中,sinAsinC0,即cos(A+C)>0,所以A+C是锐角,从而B>Error:Referencesourcenotfound,故△ABC必是钝角三角形.【加固训练】若a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1+a2)>0B.a2+b2≥2(a-b-1)C.a2+3ab>2b2D.Error:Referencesourcenotfoundb>c,且a+b+c=0,求证Error:Referencesourcenotfound0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】选C.Error:Referencesourcenotfound0(a-c)(2a+c)>0(a-c)(a-b)>0.⇐⇐6.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下正确的是()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确;②的假设错误D.①的假设错误;②的假设正确【解析】选D.反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.27.(2016·福州模拟)设00,b>0,a,b为常数,Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound的最小值是()A.4abB.2(a2+b2)C.(a+b)2D.(a-b)2【解析】选C.Error:Referencesourcenotfound(x+1-x)=a2+Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound+b2≥a2+b2+2ab=(a+b)2.【加固训练】设a=Error:Referencesourcenotfound-Error:Referencesourcenotfound,b=Error:Referencesourcenotfound-Error:Referencesourcenotfound,c=Error:Referencesourcenotfound-Error:Referencesourcenotfound,则a,b,c的大小顺序是()A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b【解析】选A.因为a=Error:Referencesourcenotfound-Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound,b=Error:Referencesourcenotfound-Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound,c=Error:Referencesourcenotfound-Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound,又因为Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound>Error:Referencesource...
