一、直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定培优点十五平行垂直关系的证明例1：如图，已知四边形为矩形，平面，下列结论中正确的是________．(把正确结论的序号都填上)①；②平面；③；④平面．【答案】①③④【解析】对于①，因为，，，所以平面，所以，则①正确；对于②，，当时，平面，但与不一定垂直，故②不正确；二、直线与平面垂直的判断，二面角对于③，因为，，，所以平面，所以，则③正确；对于④，因为，平面，平面，所以平面，则④正确．故填①③④．例2：如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，、分别是、中点．（1）证明：；（2）求平面与平面所成锐二面角的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1） 平面，∴，又，，为平面上相交直线，∴平面，∴，而等腰三角形中有，∴平面，而平面，∴．（2）易知，，两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系，则，，，，，求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，∴，∴平面与平面所成锐二面角为．对点增分集训一、选择题1．如图，在三棱锥中，，，，分别是，，，的中点，与交于点，与交于点，连接，则与的关系是（）A．平行B．垂直C．异面D．平行或垂直【答案】A【解析】因为，，，分别是，，，的中点，所以，，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，又因为，所以，故选A．2．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则下列说法错误的是（）A．B．平面C．D．平面【答案】C【解析】 在正方体中，、分别是、的中点，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中，棱长为，则，，，，，，，，∴，∴，故A正确；，，，∴，又，，∴平面，故B成立； ，，∴和不平行，故C错误；平面的法向量，，又平面，∴平面，故D正确．故选C．3．如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A．与是异面直线B．平面C．D．平面【答案】C【解析】对于A，与均在侧面内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，与平面所成的角为，所以不垂直于平面，故B错误；对于C，，，所以，故C正确；对于D，与平面有公共点，，所以与平面相交，故D错误．故选C．4．在三棱锥中，已知，，点，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A．直线直线B．直线直线C．直线直线D．直线直线【答案】D【解析】由题意，如图所示，因为，，∴，得，取中点，连接，，则，，又 ，∴平面，则， ，分别为棱，的中点，∴，则．故选D．5．如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列不正确的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面【答案】B【解析】 PA⊥¿¿平面ABC，可得平面平面，平面ABC，∴BC⊥PA，由AC为圆的直径，得，，∴BC⊥¿¿平面PAB，∴BC⊥AN，，得到AN⊥¿¿平面PBC，∴平面平面，平面平面，所以选项ACD正确；对于选项B，与一定不会平行，所以选项B一定不成立．6．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为，为的中点，给出下列五个结论：①；②平面；③平面；④平面；⑤平面．其中正确结论的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】矩形的对角线与交于点，所以为的中点．在中，是的中点，所以，所以平面，且平面．因为，所以与平面、平面相交．所以①②③正确．7．在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（）A．B．C．平面D．平面【答案】C【解析】选项A，连接，则，因为与相交，所以A错；选项B，取中点，连接、，则，在中，，所以与不垂直，所以与不垂直，所以B错；选项C，设，连接，则且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，C正确；选项D，连接，垂直于，垂直于，进而得到垂直于面，故垂直于，同理可证，垂直于，进而得到平面，所以与平面不垂直，D错．8．如图，四棱柱中，，分别是，的中点．下列结论中，正确的是（）A．B．平面C．D．平面【答案】B【解析】如图所示，取的中点，连接，，延长交于，延长交于， ，分别是，的中点，∴是的中点，是的中点，从而可得是的中点，是的中点，∴．又平面，平面，∴平面．其余结论明显错误．...
