高考数学一轮复习 专题9.7 空间向量在几何体中的运用（一）练习（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

9.7空间向量在空间几何体的运用（一）一．设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则有如下结论：平行问题线线平行线面平行面面平行垂直问题线线垂直线面垂直面面垂直夹角问题线线夹角设，的夹角为,则线面夹角设，的夹角为,则面面夹角设，的夹角为,则二．点面距lmab1n2n,lmkkR∥∥abab110l∥⊥anan1212,kkR∥∥nnnn0lm⊥⊥abab11,lkkR⊥∥anan12120⊥⊥nnnnlm(0)2cos|cos,|<>|ab|ab|a||b|l(0)2111sin|cos,|<>|an|an|a||n|(0)121212cos|cos,|<>|nn|nn|n||n|已知为平面的一条斜线段(在平面内)，为平面的法向量，则到平面的距离为．注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问题．考向一利用空间向量证明平行【例1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．【答案】见解析【解析】法一如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)，MN＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴MN⊥n.∴MN∥平面A1BD．法二MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝DA1，∴MN∥DA1，∴MN∥平面A1BD．法三MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝DA－A1A＝－＝DB－A1B.即MN可用A1B与DB线性表示，故MN与A1B，DB是共面向量，故MN∥平面A1BD．【拓展】1.(变条件)本例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.[证明]由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，则CD1＝(0，－1,1)，D1B1＝(1,1,0)，设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，μ1，z1)，ABAnB|||cos,|||||||||ABdABABABAB���<>nnn||||AB�nn则，即令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1,1,1)，又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1.2．(变条件)若本例换为：在如图324所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.图324[证明] EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又 AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴ED＝(0,2,2)，EG＝(2,2,0)，AB＝(2,0，－2)．设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，∴AB·n＝－2＋0＋2＝0，即AB⊥n. AB⊄平面DEG，∴AB∥平面DEG.考向二垂直、【例2】如图1，在四棱锥中，底面是正方形，⊥底面，且，SABCDABCDASABCDASABE是的中点．求证：（1）直线平面；（2）平面平面．图1图2【答案】见解析【解析】如图2，以A为原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设，则，，，，，易得，设平面的法向量为，则，即取，可得平面的一个法向量为又，所以，所以，所以直线平面方法1：如图2，连接交于点，连接，则点的坐标为易得，，显然，故，所以又⊥底面，所以⊥底面又平面，所以平面平面SCAD⊥SABBDE⊥ABCD2ASAB(0,0,0)A(0,2,0)D(2,2,0)C(2,0,0)B(0,0,2)S(1,1,1)E(0,0,2)AS�(2,0,0)AB�SAB(,,)xyznASAB��⊥⊥nn2020ASzABx��nn1ySAB(0,1,0)n(0,2,0)AD�2AD�nAD�∥nAD⊥SABACBDOOEO(1,1,0)(0,0,1)OE�(0,0,2)AS�2ASOE�ASOE�∥ASOE∥ASABCDOEABCDOEBDEBDE⊥ABCD方法2：易得，设平面的法向量为，则，即取，得，，所以平面的一个法向量为⊥底面，可得是平面的一个法向量因为，所以，所以平面平面【举一反三】1.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证：AB1⊥平面A1BD．【答案】见解析【解析】法一：如图所示，取...