一、函数的解析式、定义域、值域二、函数的性质及应用培优点一函数的图象与性质例1：下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数解析式特征求函数的定义域、值域，函数的定义域与值域均为，函数的定义域与值域均为，函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，函数的定义域与值域均为．三、函数的图象及应用例2：已知是奇函数，且，当时，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是奇函数，且，所以，又当时，，所以，所以．例3：函数的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】B对点增分集训【解析】∵函数，∴的定义为，关于原点对称，∵，∴是奇函数，∴的图像关于坐标原点对称，∴A选项不正确，∵，∴D选项不正确，∵当时，，∴C选项不正确，∴B选项正确，故选B．一、选择题1．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数有意义，则，即，所以函数的定义域为且．2．已知函数且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，则，无解；若，则，，故．3．函数的定义域和值域都是，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，则函数在上为减函数，故，∴当时，，则，∴，则．4．为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【答案】D【解析】作出函数的大致图像如下，观察图像，易知函数是周期函数．5．函数的图象大致形状为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴函数为偶函数，故排除C，D，当时，，故排除B，只有A符合．6．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的图象如图，为过原点的一条直线，当时，与在轴右侧总有交点，不合题意；当时成立；当时，找与相切的情况，即，且点为，此时，即有，综上，．7．已知奇函数在上是增函数，，若，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】易知在上为偶函数，∵奇函数在上是增函数，且，∴在上是增函数，又，且，∴，则．8．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，则函数的周期，当时，，则，则函数为偶函数，因此，，，当时，函数与均为增函数且都不小于，所以在区间上为增函数，∴，即．9．已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意，，且，恒成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题知关于直线对称，且，在上单调递增，所以在上单调递减，且，当时，，即；当时，，即，综上，．10．已知是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵是最小正周期为的周期函数，且时，，∴当时，有两个根，即，，由周期函数的性质知，当时，有两个根，即，，当时，有两个根，即，，也是的根，故函数的图象在区间上与轴交点的个数为．11．已知函数，，且，则下列结论中，一定成立的是（）A．，，B．，，C．D．【答案】D【解析】作出函数的图象如图中实线所示，又，且，结合图象知，，，∴，∴，∵c>0，∴，∴，又，即，∴．12．已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，此式表明，的图像关于成中心对称，而也关于成中心对称，因此函数与图像的交点为，，…，，也关于成中心对称，所以由对称性可知，．二、填空题13．已知，且，，则_______．【答案】【解析】，解得，，解得，故，，．14．已知是奇函数，函数与的图象关于直线对称，若，则_______．【答案】【解析】设点关于直线的对称点为，则可得，∴，又是奇函数，∴．15．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则的取值范围是_______．【答案】【解析】由是偶函数可知，在上单调递减，在上单调递增，又，，可得，即，∴．16．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴为奇函数，又∵，当且仅当取到“”，∴为单调递增函数，∴不等式等价于，即，解得的取值范围为．
