专题13导数的概念及其运算1．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()A.B.C.D.解析：∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.答案：D2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2B．0C．－2D．－4解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.答案：D3．若曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln2＋y－1＝0则a＝()A.B．2C．ln2D．ln解析：由题知，y′＝axlna，y′＝lna，又切点为(0，1)，故切线方程为xlna－y＋1＝0，∴a＝.答案：A4．曲线y＝x2＋x在点(2，4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．1B．2C.D.解析：∵y＝x2＋x，∴y′＝x＋1，∴切线在点(2，4)处的斜率为3，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－4＝3(x－2)，即3x－y－2＝0.令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝.所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－2|×＝.答案：D5．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A．－1B．0C．2D．46．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为()A．x＋4y－2＝0B．x－4y＋2＝0C．4x＋2y－1＝0D．4x－2y－1＝0解析：y′＝＝，因为ex>0所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≤－(当x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.答案：A7．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．解析：∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案：y＝4x－38．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．解析：因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.答案：9．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．10．求下列函数的导数．(1)y＝xnlgx；(2)y＝＋＋；(3)y＝logasinx(a>0且a≠1)．解：(1)y′＝nxn－1lgx＋xn·＝xn－1(nlgx＋)．(2)y′＝′＋′＋′＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′＝－x－2－4x－3－3x－4＝－－－.(3)令y＝logau，u＝sinx，y′＝logae·cosx＝·logae＝.11．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－lnx)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，得：y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)．得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0.所以，两条切线不是同一条直线．
