高考数学复习点拨 复数模长可用来干什么VIP免费

复数模长可用来干什么复数模长是复数的一个基本要素,也是复数问题中经常出现的一种题设条件.但它能用来解决哪些问题呢?本文就从三个方面来阐述这一问题.一.利用复数模长求值.例1.设为复数,且求的值.分析：若能由已知条件，求出z，则可求|z－1|.而确定一个复数z，需要一对实数，因此需设两个未知数，而已知条件中恰有两个等式，故而可列出关于复数z的实部、虚部的两个方程.解：设，zabiabR()zabizz1111()||||，且ababababababa222222222222111111120()()解方程组，得ab12342|||()||()|()()zabiabiab1111121343222.注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数形式a＋bi（a，b∈R），而后利用已知条件列出关于a，b的方程组，求解出a，b，也即求得了这个复数，在这里，方程的思想方法得到了充分运用.二.利用复数模长确定复平面内对应的点的轨迹.例2.若复数满足,求复数在复平面内对应的点所表示的曲线.分析：欲求点的轨迹，在难以直接由条件作出判断的情况下，一般先求出轨迹方程，再由方程的特征判断轨迹是何种曲线，而此处的求轨迹方程的已知条件是关于复数的等式（即方程），需设出z的代数形式x＋yi（即设出动点的坐标），才能把复数形式的方程化为我们熟悉的轨迹方程F(x，y)＝0.解：设，，代入已知等式，得zxyixyR()|()||()|xyixyii1422[()][()]xyxy1142222整理，得xy20.复数在复平面内对应的点的轨迹是一条直线。z例3.若复数满足求复数对应的点的轨迹.分析：若设复数2z＋3－4i对应的点为W(x，y)，显然x，y是随着z对应的点Z的坐标的变化而变化的，即点W与点Z是一对相关点，且已知点Z的运动有规律（Z在以原点为圆心，以1为半径的圆上），因此联想到求轨迹方程的相关点法，需设出点Z，W的坐标，然后列出它们的关系式，进而代入消去点Z的坐标，而得到点W的轨迹方程，进而可判断其轨迹.解：设，，另设复数，且，zabiabRzixyixyR()()234则xyiabiiabi2342324()()()用心爱心专心由复数相等，得xaybaxby23243242即.它表示以（，）为圆心，以为半径的圆342.注：本题也可不必设出点Z，点W表示的复数，而直接由复数z与ω之间的关系，求得复数形式的轨迹方程.解法如下：设,则∴即.这就是所求的轨迹方程，由方程特征，易知ω对应的点的轨迹是以（3，－4）为圆心，以2为半径的圆.三.利用复数模长求最值例4.若,求的最大值和最小值.方法一：设,则||()()zixy111122即()()xy11122.而||zxy22（这是关于x，y的二元函数，消元略显繁琐，因此代数解法不简明，换角度看问题）.方法二：由模的性质有||||()||||zizi111即，解得||||||zz212112||z的最小值为，最大值为2112.方法三：（可利用复数运算几何意义化归为几何问题）|||()|zizi111zi对应的点的轨迹是以复数对应的点为圆心，以为半径的圆。11而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离.画出方程表示的轨迹（见下图）||zi11.由平面几何知识可知，使圆上的点到原点距离取最大（最小）值的点在直线OC与圆的交点处。zOCrOCr|||||最大值为，最小值为2121ACBO注：对比以上三种方法，几何法，即方法三更为直观便捷，应是解此类最值问题的首选方法.用心爱心专心