高考数学复习点拨 灵活运用导数的定义式进行计算VIP专享VIP免费

灵活运用导数的定义式进行计算在3.1.2《瞬时速度与导数》一节中，函数()fx在点0x处的导数0()fx，记作00000/)()(lim)()(limlim)(0xxxfxfxxfxxfxyxfxxoxox，如果函数y=f(x)在开区间（a,b）内每一点都可导，就说y=f(x)在开区间(a,b)内可导，由这些导数值构成的函数称为函数y=f(x)在区间(a,b)内的导函数，记作)(/xf＝/y＝xxfxxfxyxx)()(limlim00或当0x时，00()()fxxfxlx灵活运用导数的上述定义式可以解决导数有关的计算问题。例1:（1）求函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.分析：首先计算出平均变化率yx，然后再利用定义0000()()limlimxxfxxfxyxx00()()fxxfxyxx求出函数导数。解：（1）解：函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率为yx2(1)(1)23xxxx函数f(x)=xx2在1x处的导数为200(1)(1)2limlim(3)3xxxxxx（2）222100[(1)1](11)2|limlim2xxxxxxyxx,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)yx即20xy评析：函数y=f(x)在点x0处的导数，即为函数在点x0处的的增量与自变量的增量的比的极限，也是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0)(x－x0)，这样以后的学习中，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题也将会频频出现。例2、f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值，用心爱心专心（1）000()()limxfxxfxx，（2）xxaxfxaxfx)()(lim000（a为常数）分析：所给出的极限式不是导数的定义式的结构形式，不能盲目套用导数的定义式，需要对所给式进行等价变形，将所给的极限式转化为导数定义式的结构形式，然后再利用导数的定义进行导数计算。解：（1）000()()limxfxxfxx000()()lim()xfxxfxx000()()lim()xfxxfxx'0()fx（2）000()()limxfxaxfxaxx00000()()()()limxfxaxfxfxfxaxx000000()()()()limlimaxaxfxaxfxfxaxfxaaaxax/02()afx评析：在导数的定义中，增量x的表达形式是多种多样的，但不论选择哪一种形式，y也必须选择相应的形式，在本例中对00()()fxxfxyxx的变形，就是要将给定的极限式进行恒等变形，将其转化为导数定义的结构形式，最后再利用函数在0x处可导的条件进行导数计算。例3、已知函数xf满足23,23'ff，求323lim3xxfxx的值分析：若设0,xxx则0x与0xx是一致的，即0'000000()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx。利用函数xf的已知条件，对所给的极限式323lim3xxfxx进行等价变形，再利用导数的定义作解答。解：由导函数的定义可知xxfxxfxfx000'lim用心爱心专心433333lim333]3[3]3[3lim3333333lim3333lim3332lim'33333ffxfxffxfxfxfxfxffxfxfxfxfxxxxxx点评：根据导数概念的概念求函数的导数是求导数的基本方法，求导的本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转换为已知极限的形式是能够顺利求导的关键。一般的对导数概念考查应是多角度多渠道的。例4.若f(x)在R上可导，且f(-x)=f(x)，求f/(0)。分析：由f(-x)=f(x)知函数为偶函数，利用这一性质结合函数f(x)在0处导数的定义进行解大答。解：∵f(x)=f(-x)，则f(△x)=f(-△x)∴xfxfxfxffxx)0()()0()()0(limlim00/当0x时，有0x∴)0()0()()0(/0/limfxfxffx∴0)0(/f。评析：本题利用函数的性质结合函数在某一点处的导数的定义进行解答。以上我们着重分析灵活利用导数的定义式进行导数计算的问题，在这里首先要深刻理解导数的概念，因为概念导数的是分析解决问题的重要依据，只有熟练的掌握导数的概念的本质属性，才能灵活的应用导数的定义进行解题，用心爱心专心