备战数学应考能力大提升典型例题例1写出下列命题的否定,并判断真假.(1)∀x∈R,x2+x+1>0;(2)∀x∈Q,x2+x+1是有理数;(3)∃α、β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ;(4)∃x,y∈Z,使3x-2y≠10.【解析】(1)“的否定是∃x∈R,x2+x+1≤0”.假命题.(2)“的否定是∃x∈Q,x2+x+1”不是有理数.假命题.(3)“的否定是∀α,β∈R,使sin(α+β)≠sinα+sinβ”.假命题.(4)“的否定是∀x,y∈Z,使3x-2y=10”.假命题.例2设有两个命题:p:x2-2x+2≥m的解集为R;q:函数f(x)=-(7-3m)x是减函数,若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.【解析】若命题p为真命题,可知m≤1;若命题q为真命题,则7-3m>1,即m<2.所以命题p和q中有且只有一个是真命题时,有p真q假或p假q真,即例3已知m∈R,设P:x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立;Q:函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点.“求使P且Q”为真命题的实数m的取值范围.【解析】由题设x1+x2=a,x1x2=-2,∴|x1-x2|==.当a∈[1,2]时,的最小值为3.要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立,只须|m-5|≤3,即2≤m≤8.由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判别式Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0,得m<-1或m>4.“综上,要使P∧Q”为真命题,只需P真Q真,即28,14mmm或≤≤28,14mmm或≤≤解得实数m的取值范围是(4,8].创新题型1已知m∈R,设P:x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立;Q:函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点.“求使P且Q”为真命题的实数m的取值范围.2已知函数()|21||2|2fxxxx(xR),(Ⅰ)求函数()fx的最小值;(Ⅱ)已知mR,命题p:关于x的不等式2()22fxmm对任意xR恒成立;命题q:指数函数2(1)xym“是增函数.若p或q”“为真,p且q”为假,求实数m的取值范围.2.【解析】(Ⅰ)由()|21||2|2fxxxx得