高考数学 应考能力大提升2.2VIP免费

备战数学应考能力大提升典型例题例1已知函数f(x)＝x3－x2＋＋。证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.【解析】证明：令g(x)＝f(x)－x.∵g(0)＝，g()＝f()－＝－，∴g(0)·g()<0.又函数g(x)在[0，]上连续，所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.例2已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求的取值范围，并求出该零点.【解析】∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根.设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，∴2x＝1，x＝0符合题意.当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有一正一负根，即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾.∴这种情况不可能.综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为＝0.创新题型1、若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围。]2、已知函数（I）求在区间上的最大值（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。3、设函数22)1ln()1()(xxxf（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若当]1,11[eex时，不等式mxf)(恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程axxxf2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围。参考答案1.【解析】由题意可知f′(x)＝3ax2－b，(1)于是(2)120,1,3(2)824,344.fabafabb解得：′故所求的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2.当x变化时f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：X(∞－，－2)－2(－2,2)2(2∞，＋)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减单调递增因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；当x＝2时，f(x)有极小值－.所以函数的大致图象如图.故实数k的取值范围是－＜k＜.综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为3.【解析】因为xxxfxxxf12)1(2)()1ln()1()(22所以（1）令0120]11)1[(212)1(2)(2xxxxxxxxf12x或x>0，所以f(x)的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）；令0120]11)1[(212)1(2)(2xxxxxxxxf)(,201xfxx所以或的单调减区间（－1，0∞）和（－，－2）。（2）令201)1(0)(2xxxxf或（舍），由（1）知，f(x)连续，.2)(,]1,11[,,2)1(,1)0(,21)11(222exfeexeeffeef的最大值为时当所以因此可得：f(x)e2－2