备战数学应考能力大提升典型例题例1已知函数f(x)=x3-x2++。证明:存在x0∈(0,),使f(x0)=x0.【解析】证明:令g(x)=f(x)-x.∵g(0)=,g()=f()-=-,∴g(0)·g()<0.又函数g(x)在[0,]上连续,所以存在x0∈(0,),使g(x0)=0.即f(x0)=x0.例2已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求的取值范围,并求出该零点.【解析】∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0,即m2-4=0,∴m=-2时,t=1;m=2时,t=-1不合题意,舍去,∴2x=1,x=0符合题意.当Δ>0,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有一正一负根,即t1t2<0,这与t1t2>0矛盾.∴这种情况不可能.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为=0.创新题型1、若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.(1)求函数的解析式;(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围。]2、已知函数(I)求在区间上的最大值(II)是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。3、设函数22)1ln()1()(xxxf(1)求函数)(xf的单调区间;(2)若当]1,11[eex时,不等式mxf)(恒成立,求实数m的取值范围;(3)若关于x的方程axxxf2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围。参考答案1.【解析】由题意可知f′(x)=3ax2-b,(1)于是(2)120,1,3(2)824,344.fabafabb解得:′故所求的解析式为f(x)=x3-4x+4.(2)由(1)可知f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),令f′(x)=0,得x=2,或x=-2.当x变化时f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示:X(∞-,-2)-2(-2,2)2(2∞,+)f′(x)+0-0+f(x)单调递增单调递减单调递增因此,当x=-2时,f(x)有极大值;当x=2时,f(x)有极小值-.所以函数的大致图象如图.故实数k的取值范围是-<k<.综上,(II)函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点,即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时,是增函数;当时,是减函数;当时,是增函数;当或时,当充分接近0时,当充分大时,要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须即所以存在实数,使得函数与的图象有且只有三个不同的交点,的取值范围为3.【解析】因为xxxfxxxf12)1(2)()1ln()1()(22所以(1)令0120]11)1[(212)1(2)(2xxxxxxxxf12x或x>0,所以f(x)的单调增区间为(-2,-1)和(0,+∞);令0120]11)1[(212)1(2)(2xxxxxxxxf)(,201xfxx所以或的单调减区间(-1,0∞)和(-,-2)。(2)令201)1(0)(2xxxxf或(舍),由(1)知,f(x)连续,.2)(,]1,11[,,2)1(,1)0(,21)11(222exfeexeeffeef的最大值为时当所以因此可得:f(x)e2-2