备战数学应考能力大提升典型例题【例1】已知S是△ABC所在平面外一点,O是边AC的中点,∠SOA=∠SOB=∠SOC,点P是SA的中点.(1)求证:SO⊥平面ABC;(2)求证:SC∥平面BOP.证明:(1)在平面SAC中,∠SOA+∠SOC=180°,又∠SOA=∠SOB=∠SOC,∴∠SOA=∠SOC=90°=∠SOB,即SO⊥AC,SO⊥OB.∴SO⊥平面ABC.(2)∵P是SA的中点,O是AC的中点,∴OP∥SC.而OP平面BOP,SC平面BOP,∴SC∥平面BOP.【例2】已知正方形ABCD,E、F分别是边AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示.记二面角ADEC的大小为θ(0＜θ＜π).(1)证明BF∥平面ADE;(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,请证明你的结论,并求角θ的余弦值.(1)证明:E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点,∴EB∥FD,且EB=FD.∴四边形EBFD是平行四边形.∴BF∥ED.∵ED平面AED,而BF平面AED,∴BF∥平面AED.(2)解:方法一:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG⊥平面BCDE,垂足为G,连结GC、GD.∵△ACD为正三角形,∴AC=AD.∴GC=GD.∴G在CD的垂直平分线上.又∵EF是CD的垂直平分线,∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE,∴∠AHG是二面角ADEG的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF,在折后图的△AEF中,AF=,EF=2AE=2a,∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=a.在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE,∴AH=.∴GH=.∴cosθ=.方法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.连结AF,在平面AEF内过点A作AG′⊥EF,垂足为G′.∵△ACD为正三角形,F为CD的中点,∴AF⊥CD.又∵EF⊥CD,∴CD⊥平面AEF.∵AG′平面AEF,∴CD⊥AG′.又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE,∴AG′⊥平面BCDE.∴G′为A在平面BCDE内的射影G.∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GH⊥ED,垂足为H,连结AH,则AH⊥DE,∴∠AHG是二面角ADEC的平面角,即∠AHG=θ.设原正方形ABCD的边长为2a,在折后图的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,∴△AEF为直角三角形,AG·EF=AE·AF.∴AG=a.在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE,∴AH=.∴GH=.∴cosθ=.创新题型1、如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.(1)求证:平面A1BC1∥平面ACD1;(2)求(1)中两个平行平面间的距离;(3)求点B1到平面A1BC1的距离.2.已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面边长及侧棱长均相等,AB⊥CB1,且侧面ABB1A1垂直于底面ABC.(1)求证:平面ABC1⊥平面CBB1C1;(2)求侧棱B1B与底面ABC所成角的大小.3.已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.(1)证明平面PED⊥平面PAB;(2)求二面角PABF的平面角的余弦值.参考答案(2)解:设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d,则d等于D1到平面A1BC1的距离.易求A1C1=5,A1B=,BC1=,则cos∠A1BC1=.从而sin∠A1BC1=,S△A1BC1=.由于VD1—A1BC1=VB—A1C1D1,则S△A1BC1·d=(·A1D1·C1D1)·BB1,代入求得d=,即(1)中两个平行平面间的距离等于.(3)解:由于线段B1D1被平面A1BC1所平分,所以点B1与点D1到平面A1BC1的距离相等,故由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于.2.【解析】剖析:(1)利用面面垂直的判定定理,关键是在一个平面内找另一个平面的垂线(这条直线是CB1);(2)利用面面垂直的性质定理,作出侧棱B1B与底面ABC所成的角.(1)证明:∵四边形BB1C1C是菱形,∴CB1⊥C1B.又∵AB⊥CB1,AB∩C1B=B,∴CB1⊥平面ABC1.而CB1平面CBB1C1,∴平面ABC1⊥平面CBB1C1.(2)解:作B1D⊥AB于D,连结CD.∵侧面ABB1A1⊥底面ABC,而平面ABB1A1∩平面ABC=AB,∴B1D⊥面ABC.∴∠B1BD就是侧棱B1B与底面ABC所成的角.又∵CB1⊥AB,∴其射影CD⊥AB.而△ABC是正三角形,∴BD=AB=B1B.∴∠B1BD=60°,即侧棱B1B与底面ABC所成的角为60°.3.【解析】(1)证明:连结BD,∵AB=AD,∠DAB=60°,∴△ADB为等边三角形.∵E是AB中点,∴AB⊥DE.∵PD⊥平面ABCD,AB平面ABCD,∴AB⊥PD.∵DE平面PED,PD平面PED,DE∩PD=D,∴AB⊥平面PED.∵AB平面PAB,∴平面PED⊥平面PAB.(2)解:∵AB⊥平面PED,PE平面PED,∵AB⊥PE,连结EF,∴EF平面PED.∴AB⊥EF.∴∠PEF为二面角PABF的平面角.设AD=2,那么PF=FD=1,DE=,在△PEF中,PE=,EF=2,PF=1,∴cos∠PEF=,即二面角PABF的平面角的余弦值为.
