第十三单元统计、概率知识体系第六节几何概型基础梳理1.几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是、、等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的特点（1）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是.（2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是.线段平面图形立体图形无限的均等的因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”.即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占的总面积（体积、长度）”之比来表示.3.几何概型的计算公式一般地，在几何区域D中随机取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.4.几何概型与古典概型的区别与联系（1）共同点：.（2）不同点：基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关.D的测度d的测度基本事件都是等可能的典例分析题型一与长度有关的几何概型【例1】（2009·盐城模拟）某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.分析因为乘客在两车间隔的10分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包含的基本事件是无限多个，并且每个事件发生的可能性都是一样的，故是几何概型问题.解每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时刻t可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区间(0,10]上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是指点落在区间[3,10]上.如图所示.设第一辆车于时刻T1到达，而第二辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长度等于7.记“等车时间不超过7分钟”为事件A，事件A发生即点t落在线段TT2上，则D的长度=T1T2=10,A的长度=TT2=7,所以P（A）=.故等车时间不超过7分钟的概率是.学后反思我们将每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定的区域内的点.这样的概率模型就可以用几何概型求解.107D的长度A的长度107举一反三1.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2m的概率.解析：记“灯与两端距离都大于2m”为事件A,则P(A)=.2163题型二与面积（体积）有关的几何概型【例2】在5升高产小麦种子中混入了一种带白粉病种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有白粉病的种子的概率是多少？分析因为带病种子的位置是随机的，所以取到这种带病种子只与取得种子的体积有关.解病种子在这5升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，5升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.“取出10毫升种子中含有病种子”这一事件记为A，所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.002.学后反思解决此类问题，应先根据题意确定该试验为几何概型，然后求出事件A和基本事件的几何度量，借助几何概型的概率计算公式求出.0.002500010所有种子的体积取出的种子的体积则P(A)2.如图，射箭比赛的箭靶上涂有5个彩色的分环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色.金色靶心叫做“黄心”.奥运会的比赛靶面直径是122cm,靶心直径是12.2cm,运动员在70m外射箭.假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？举一反三解析：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为π×1222cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为π×12.22cm2的黄心时，事件B发生.于是事件B发生的概率为41410.01π1224112.2π41P(B)22题型三会面问题中的概率【例3】(14分)两人约定在20:00到21:00之间相见，并且先到者必须等迟到...
