第26章二次函数小结一、二次函数的定义一般地，如果y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x二次函数。注：二次函数y=ax²+bx+c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，的最高次数是2；二次项系数a≠0。二、二次函数的图象及画法1、二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是以-b2a,4ac-b24a为顶点，以直线x=-b2a为对称轴的抛物线。2、用描点法画二次函数的步骤。(1)用配方法化成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）²＋ｋ的形式；(2)确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(3)在对称轴的两侧用对称性描点画图。注：(1)a的大小决定抛物线的开口大小。a越大，开口越小；a越小，开口越大。(2)a、b的符号决定抛物线的对称轴的位置。当b=0时，对称轴为轴；当ab﹥0时，对称轴在y轴左侧（简称：左同）；ab﹤0，对称轴在y轴的右侧（简称：右异）。(3)c的大小决定抛物线与y轴的交点位置：c=0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴。(4)b2-4ac的大小决定抛物线与x轴的交点个数：b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。(5)画抛物线的草图，要确定：开口方向、对称轴、顶点、与x轴交点、与y轴交点。三、二次函数的性质性质a＞0a＜0开口方向开口向上开口向下对称轴直线x=-b2a顶点坐标(-b2a,4ac-b24a)增减性在对称轴的左侧，即x＜-b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即x＞-b2a时，y随x的增大而增大。简记：左减右增。在对称轴的左侧，即x＜-b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x＞-b2a时，y随x的增大而减小。简记：左增右减。最值抛物线有最低点，当x=-b2a时，有最小值，y最小值=4-ac-b24a抛物线有最高点，当x=-b2a时，有最大值，y最大值=4ac-b24a四、图象的平移规律：对自变量x来说，向右平移用“－”，向左平移用“+”；对自变量y来说，向上平移用“－”，向下平移用“+”；例：将抛物线y=3x2向右平移2个单位，再乡下平移3个单位得到的抛物线的解析式为y+3=3（x-2）2，即y=3（x-2）2-3。注：该方法对其它函数图象的平移也适合。五、顶点坐标的求法1、配方法：即将y=ax²+bx+c化成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）²＋ｋ形式，得到顶点坐标为（h，k）。2、公式法：将a、b、c的值代入-b2a，4ac-b24a中，得顶点坐标为-b2a,4ac-b24a。3、代入法：先求出x=-b2a的值，再代入y=ax²+bx+c中，求出y，得顶点坐标为（x，y）。例：求抛物线y=x2-4x+5的顶点p坐标解法1，配方法：y=x2-4x+5=（x-2）2+1，则p（2，1）；解法2，公式法：-b2a=--42=2，4ac-b24a==1，则p（2，1）；解法3，代入法：x=-b2a=--42=2，y=22-8+5=1，则p（2，1）。六、顶点的位置1、顶点在x轴上的条件为b2-4ac=0例：y=x2-6x+c顶点在x轴上，求c。解：△=(-6)2-4c=0，得c=9。2、顶点在y轴上的条件为b=0。例：y=2x2+(m-1)x-6顶点在y轴上，求m。解：由题意易得m-1=0，则m=1。3、顶点在原点的条件为b=c=0。4、顶点在各象限内的条件为△≠0，b≠0。七、解析式的求法。1、三点型解析式设为：y=ax²+bx+c（a≠0），适用于抛物线过三个已知点时。2、顶点型解析式设为：ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）²＋ｋ（a≠0），适用于已知抛物线的顶点时。3、交点型解析式设为：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），适用于已知抛物线与x轴交点坐标(x1,0),(x2,0)时。例：抛物线经过A（-1，0）、B（3，0）、C（1，-8），求该抛物线的解析式。解：方法1，三点型设解析式为：y=ax²+bx+c，将A、B、C的坐标代入，得a-b+c=0；9a+3b+c=0；a+b+c=0，联立方程组，解得a=2，b=-4，c=-6，因此抛物线的解析式为y=2x2-4x-6。方法2、交点型设y=a(x+1)(x-3)把c（1，-8）代入，求得a=2，因此，抛物线的解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6。
