九年级数学三角形的内切圆切线长定理知识精讲一.本周教学内容：1.三角形的内切圆2.切线长定理二.重点、难点：1.内心的特点：（1）角平分线的交点（2）到三边等距（3）内心张角必为钝角（4）内心必在形内（5）三角形面积等于周长的一半与内切圆半径之积（6）四边形有内心的条件2.常见的切线长定理模型及其中蕴含的定理结论。【典型例题】[例1]已知外心为O，内心为I，AI延长线交外接圆O于D，求证：（1）D为的外心；（2）若DE=1，AE=3，求DI长。证明：（1）连BD、CD∵I为内心∴，∵与对圆弧∴又∵，∴∴DI=DC又∵∴BD=DC=DI∴D为的外心（2）∵，为公共角∴∽∴∴∴DC=2∴DI=DC=2[例2]⊙I为的内切圆，与三边分别切于D、E、F三点，若AC=4，AB=6，BC=7，求AE的长。解：由切线长定理，设，，，则有解得∴AE的长为[例3]梯形ABCD中，AD∥BC，，以CD为直径的半圆切AB于E点，若梯形面积为，周长为20cm，求圆的半径。解：如图，将之补成一个等腰梯形ABKF，设⊙O半径为r，易知⊙O为梯形ABKE的内切圆。∴即，或7但时，AB=3，CD=14，，矛盾∴圆O的半径为[例4]中，AB=AC=17cm，BC=16cm，求内切圆的半径。解：作AH⊥BC于H点，则在中，设内切圆半径为，以面积为等量关系建立方程，有：，即∴内切圆半径为。[例5]如图，AQ⊥AB于A点，以AB为直径作半圆，QP切半圆于P点，连PB，作PM⊥AB于M，交QB于N点，求证：PN=MN。证明：连AP，延长AQ、BP，交于K点∵AQ⊥AB∴AQ切半圆于A又∵QP切半圆于P∴QA=QP∴∵AB为直径∴AP⊥PB∴∴∴QP=QK=QA∵PM⊥AB，QA⊥AB∴PM∥KA∴∴PN=MN[例6]两圆交于A、B，⊙O的圆心O在⊙上，直线PEC切⊙O于C，交⊙于P、E，直线PDF切⊙O于D，交⊙于P、F，求证：AB∥EF。证明：连OA、、OB、OPPC、PD切⊙O于C、DEF∥AB【模拟试题】（答题时间：40分钟）一.选择题：1.圆的最大弦长为m，如果直线与圆相交，该直线与圆心距离为d，则（）A.B.C.D.2.圆的周长为，如果一条直线与圆心的距离为，那么这条直线与这个圆（）A.相离B.相切C.相交D.不能确定3.在中，，⊙O分别与AB、AC切于D和E，点O在BC上，设AB=，，则⊙O的半径等于（）A.B.C.D.4.AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连结AC，若的度数为，则的大小为（）A.B.C.D.5.以下四边形中，有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形6.的内切圆与三边分别切于点D、E、F，则是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定7.已知I为的内心，过I、B、C三点作⊙O，则与（）A.相等B.互补C.互余D.不能确定8.过圆O外一点P作PA、PB，切⊙O于A、B，若AB=8，AB的弦心距为3，则PA的长为（）A.B.C.5D.89.若圆的外切四边形ABCD的面积为，边AD与边BC的和为10cm，则该圆的半径长为（）A.4cmB.2cmC.1cmD.以上都不对二.填空题：1.直角三角形两条直角边长分别为9和40，则它的外接圆半径R=，内切圆半径。2.中，，I为内心，则。3.从圆外一点向圆所作的两条切线的夹角为，切线长为6cm，则圆的半径长为。4.如图，AB、AC切⊙O于B、C，的度数为，OA=7.5cm，则⊙O直径为。三.解答题：1.如图，AB是⊙O的直径，AC、BD、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，求证：。2.如图，中，AB=4，AC=6，BC=5，O、I分别为的外心和内心，求证：OI⊥AK。[参考答案]一.选择题：1.D2.A3.A4.D5.C6.A7.B8.A9.B二.填空题：1.；42.3.4.7.5cm三.解答题：1.证明：连OC、OD∵AC、BD、CD为切线，AB为直径，OE为半径∴AC⊥AB，DB⊥AB，OE⊥CD，AC=CE，DE=DB，∴AC∥BD∴∴∴∴∴2.证明：连IB、IC、IK，由例1证明过程知：KB=KI=KC∽，故①同理有②∴（等比定理）∴AK=2KC=2KI∴I为AK中点∴OI⊥AK（垂径定理推论）
