九年级数学三角形的内切圆切线长定理知识精讲一.本周教学内容:1.三角形的内切圆2.切线长定理二.重点、难点:1.内心的特点:(1)角平分线的交点(2)到三边等距(3)内心张角必为钝角(4)内心必在形内(5)三角形面积等于周长的一半与内切圆半径之积(6)四边形有内心的条件2.常见的切线长定理模型及其中蕴含的定理结论。【典型例题】[例1]已知外心为O,内心为I,AI延长线交外接圆O于D,求证:(1)D为的外心;(2)若DE=1,AE=3,求DI长。证明:(1)连BD、CD∵I为内心∴,∵与对圆弧∴又∵,∴∴DI=DC又∵∴BD=DC=DI∴D为的外心(2)∵,为公共角∴∽∴∴∴DC=2∴DI=DC=2[例2]⊙I为的内切圆,与三边分别切于D、E、F三点,若AC=4,AB=6,BC=7,求AE的长。解:由切线长定理,设,,,则有解得∴AE的长为[例3]梯形ABCD中,AD∥BC,,以CD为直径的半圆切AB于E点,若梯形面积为,周长为20cm,求圆的半径。解:如图,将之补成一个等腰梯形ABKF,设⊙O半径为r,易知⊙O为梯形ABKE的内切圆。∴即,或7但时,AB=3,CD=14,,矛盾∴圆O的半径为[例4]中,AB=AC=17cm,BC=16cm,求内切圆的半径。解:作AH⊥BC于H点,则在中,设内切圆半径为,以面积为等量关系建立方程,有:,即∴内切圆半径为。[例5]如图,AQ⊥AB于A点,以AB为直径作半圆,QP切半圆于P点,连PB,作PM⊥AB于M,交QB于N点,求证:PN=MN。证明:连AP,延长AQ、BP,交于K点∵AQ⊥AB∴AQ切半圆于A又∵QP切半圆于P∴QA=QP∴∵AB为直径∴AP⊥PB∴∴∴QP=QK=QA∵PM⊥AB,QA⊥AB∴PM∥KA∴∴PN=MN[例6]两圆交于A、B,⊙O的圆心O在⊙上,直线PEC切⊙O于C,交⊙于P、E,直线PDF切⊙O于D,交⊙于P、F,求证:AB∥EF。证明:连OA、、OB、OPPC、PD切⊙O于C、DEF∥AB【模拟试题】(答题时间:40分钟)一.选择题:1.圆的最大弦长为m,如果直线与圆相交,该直线与圆心距离为d,则()A.B.C.D.2.圆的周长为,如果一条直线与圆心的距离为,那么这条直线与这个圆()A.相离B.相切C.相交D.不能确定3.在中,,⊙O分别与AB、AC切于D和E,点O在BC上,设AB=,,则⊙O的半径等于()A.B.C.D.4.AB是⊙O的直径,D是AB延长线上一点,DC切⊙O于C,连结AC,若的度数为,则的大小为()A.B.C.D.5.以下四边形中,有内切圆的是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形6.的内切圆与三边分别切于点D、E、F,则是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定7.已知I为的内心,过I、B、C三点作⊙O,则与()A.相等B.互补C.互余D.不能确定8.过圆O外一点P作PA、PB,切⊙O于A、B,若AB=8,AB的弦心距为3,则PA的长为()A.B.C.5D.89.若圆的外切四边形ABCD的面积为,边AD与边BC的和为10cm,则该圆的半径长为()A.4cmB.2cmC.1cmD.以上都不对二.填空题:1.直角三角形两条直角边长分别为9和40,则它的外接圆半径R=,内切圆半径。2.中,,I为内心,则。3.从圆外一点向圆所作的两条切线的夹角为,切线长为6cm,则圆的半径长为。4.如图,AB、AC切⊙O于B、C,的度数为,OA=7.5cm,则⊙O直径为。三.解答题:1.如图,AB是⊙O的直径,AC、BD、CD是⊙O的切线,A、B、E是切点,求证:。2.如图,中,AB=4,AC=6,BC=5,O、I分别为的外心和内心,求证:OI⊥AK。[参考答案]一.选择题:1.D2.A3.A4.D5.C6.A7.B8.A9.B二.填空题:1.;42.3.4.7.5cm三.解答题:1.证明:连OC、OD∵AC、BD、CD为切线,AB为直径,OE为半径∴AC⊥AB,DB⊥AB,OE⊥CD,AC=CE,DE=DB,∴AC∥BD∴∴∴∴∴2.证明:连IB、IC、IK,由例1证明过程知:KB=KI=KC∽,故①同理有②∴(等比定理)∴AK=2KC=2KI∴I为AK中点∴OI⊥AK(垂径定理推论)