《2.3.1-数学归纳法》同步练习5VIP专享VIP免费

《2.3.1数学归纳法》同步练习51.(3分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边的项为()．A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a32.(3分)用数学归纳法证明“＜n＋1(n∈N＋)”的第二步如下：当n＝k＋1时(n＝1已验证，n＝k已假设成立)，这样证明：＝＜＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，命题正确．此种说法()．A.是正确的B.归纳假设写法不正确C.从k到k＋1的推理不严密D.从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设3.(3分)关于自然数n的命题，如果当n＝k(k∈N)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立.现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得()．A.当n＝6时该命题不成立B.当n＝4时该命题不成立C.当n＝6时该命题成立D.当n＝4时该命题成立4.(3分)若命题p(n)对n＝k成立，则对n＝k＋2也成立．又若p(n)对n＝1成立，则下列结论正确的是()．A.p(n)对所有自然数n成立B.p(n)对所有正偶数n成立C.p(n)对所有正奇数n成立D.p(n)对所大于1的自然数n成立5.(3分)用数学归纳法证明等式1231221nnnnnn，当n＝1时，左边的项是________，从k到k＋1时，左边需增添的项是________________．6.(3分)完成下列命题由P(k)→P(k＋1)的变换过程，写出P(k＋1)的命题形式(k∈N＋)：(1)若P(k)：＜k＋1(k≥1)，则P(k＋1)：________________________________________________________________________；(2)若P(k)：≥(k≥1)，则P(k＋1)：________________________________________________________________________.7.(3分)已知n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面个数为f(n+1)比f(n)增添的项数是________．8.(3分)已知数列{an}的各项均不为0，且满足an＋1＝，若a1＝2，a2＝1，a3＝，…，则an＝________.9.(3分)用数学归纳法证明“当n∈N时，422135nn是14的倍数”的过程中，当n＝k＋1时，11221453kk可变形为_______________．10.(7分)求证：当n为正奇数时，7n＋1能被8整除．11.(7分)证明：1111N24466822241nnnnn．12.(9分)已知{an}中，a1＝2，且2an＋1＝an＋1.(1)应用归纳法猜想an；(2)用数学归纳法证明你的结论．数学归纳法1.C2.D3.B4.C5.2221k6.(1)＜(k＋1)＋1(2)≥7.k－1项8.1212244556533kkk9.1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋410.(1)当n＝1时，71＋1＝8，能被8整除；(2)假设n＝k(k为正奇数)时，7k＋1能被8整除，设7k＋1＝8m，m∈N，则当n＝k＋2时，7k＋2＋1＝72·7k＋72－72＋1＝72(7k＋1)－48＝49×8m－8×6＝8(49m－6)，∵49m－6∈N，∴命题成立．即n＝k＋2时，7n＋1能被8整除．根据(1)(2)可知，当n为正奇数时，7n＋1能被8整除．11.(1)当n＝1时，左边＝81421，右边＝811141，∵左边＝右边，∴当n＝1时，等式成立．(2)假设当n＝k时，111124466822241knNkkk成立那么，当n＝k＋1时，422212221861641421kkkk＝4222114kkkk＝241kk.即当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)(2)可知，当n∈N＋时，Nnnnnn14222186164142112.(1)∵a1＝2，2an＋1＝an＋1，∴当n＝1，2，3，4时，可得a2＝(a1＋1)＝，a3＝(a2＋1)＝，a4＝(a3＋1)＝，a5＝(a4＋1)＝，由此猜想an＝(*)．(2)用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，a1＝＝2，与已知相符，(*)成立．②假设当n＝k时，猜想(*)正确，即ak＝，则当n＝k＋1时，由已知，得ak＋1＝(ak＋1)＝＝·＝，即n＝k＋1时，猜想(*)也成立．根据①②可知，猜想an＝对一切n∈N＋都成立．