2012年初中数学二次函数中的图形构建及存在性问题总复习试题及解答一、二次函数中有关面积的存在性问题例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；(2）若四边形的面积为求直线的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.答案：解：（1）因为抛物线与轴交于点两点，设抛物线的函数关系式为： 抛物线与轴交于点∴∴所以，抛物线的函数关系式为：又因此，抛物线的顶点坐标为因此，切点的坐标为设直线的函数关系式为将的坐标代入得解之，得此时切线的函数关系式为或当时，由得，当时，由得，故满足条件的点的位置有4个，分别是说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.强化训练★1、（10广东深圳）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1,－3）．(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．答案：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程∴403acac解之得：14ac；故24yx为所求(2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点设BD的解析式为ykxb，则有203kbkb，12kb，故BD的解析式为2yx；令0,x则2y，故(0,2)M(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB易知BN=MN=1，易求22,2AMBM122222ABMS；设2(,4)Pxx，依题意有：214422ADx，即：2144422x解之得：22x，0x，故符合条件的P点有三个：123(22,4),(22,4),(0,4)PPP★2、．矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为xyMCBDAO图2xyCB_D_AOxyNMOP2P1BDAP3C图3OAGBDCEHxyFO(0，0)、B(0，3)、D(－2，0)，直线AB交x轴于点A(1，0)．(1)求直线AB的解析式；(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；(3)过点E作x轴的平行线EF交AB于点F．将直线AB沿轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H．请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得S△PAG＝S△PEH．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题例2(2010甘肃）(12分)如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为，由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知.即抛物线的解析式为．………………………1分把A（－1，0）、B（3，0）代入,得解得.∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3．……………………………………………3分∴顶点D的坐标为.……………………………………………………4分说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y=x2－2x－3”不扣分.（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.……………………………5分理由如下：过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴.…………………………6分在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴.…………………………7分在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴.…………………………8分∴，故△BCD为直角三角形.…………………………9分（3）连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．………10分过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，求得符合条件的点为．…………………………………………11分过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2...
